Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1343
2016-10-21 
Путнику, возвращавшемуся тёмной ночью домой, в свою деревню, по дороге, идущей прямо к его дому, с расстояния $r = 5 км$ стал виден огонёк свечи в одном из окон. Внутри дома вблизи соседнего окна стоит наряженная к Новому году ёлка с зеркальными шарами. Оцените, на каком расстоянии от дома путнику станет видно отражение свечи в ёлочном шаре диаметром $D = 10 см$, если он идеально отражает свет и находится на расстоянии $a = 1,8 м$ от свечи на линии, перпендикулярной дороге? Окна одинаковые, свеча горит ровно.
Решение:
Свечу $S$, как и её отражение $S^{ \prime}$, при наблюдении с большого расстояния можно считать точечным источником, равномерно излучающим свет во все стороны. Лучи от свечки, находящейся на расстоянии $r$ от человека, расходятся под углом $\Delta \alpha \approx d/r$, где $d$ — диаметр зрачка глаза. Очевидно, что лучи, испущенные свечкой в пределах такого угла, после отражения от шарика будут расходиться уже под большим углом $\Delta \phi$ все попадут в глаз (то есть в пределы зрачка) на гораздо меньшем расстоянии $r_{1}$ от свечки: $d = r \Delta \alpha = r_{1} \Delta \phi$.
Изобразим ход испущенных свечкой лучей при отражении от зеркального шара (см. рис.). Обозначим радиус шарика через $R = D/2$. Для того, чтобы путник увидел отражение свечи в шаре, угол падения лучей на его зеркальную поверхность должен быть близок к $45^{ \circ}$. Поэтому расстояние между точками падения двух лучей, расходящихся из свечки под углом $\Delta \alpha$, на поверхности шарика будет равно $\frac{a \Delta \alpha}{ \cos 45^{ \circ}} = R \Delta \psi$, где $\Delta \psi$ — угол поворота отражающей поверхности между этими точками. Поэтому $\Delta \psi = \frac{ \sqrt{2}a}{R} \Delta \alpha$. Известно, что при повороте луча, падающего на плоское зеркало, на угол $\Delta \alpha$, отражённый луч поворачивается также на $\Delta \alpha$, а при повороте самого зеркала на угол $\Delta \psi$ — луч поворачивается на угол $2 \Delta \psi$. Поэтому
$\Delta \phi = 2 \Delta \psi + \Delta \alpha = \left ( \frac{2 \sqrt{2} a}{R} + 1 \right ) \Delta \alpha$,
и
$r_{1} = \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta \phi} r = \frac{r}{ \frac{2 \sqrt{2} a}{R} + 1} = \frac{r}{ \frac{ 4 \sqrt{2} a}{D} + 1} \approx 48,6 м$.
Поскольку $4 \sqrt{2} a/D \approx \gg 1$, ответ можно записать и так:
$r_{1} \approx \frac{rD}{4 \sqrt{2} a} \approx 50 м$.
Полученную нами оценку можно немного уточнить. Следует отметить, что излученный свечкой свет отражается от искривлённой поверхности, наклонённой под большим углом $\sim 45^{ \circ}$) к падающему пучку. Поэтому лучи света, идущие от свечки в пределах прямого кругового конуса с очень малым углом раствора $\Delta \alpha$, после отражения от шара будут идти внутри конической поверхности практически эллиптического сечения, причём вертикальная полуось эллипса в $\sqrt{2}$ раз меньше горизонтальной. Из-за этого в момент, когда человек будет находиться на определённом нами расстоянии $r_{1}$ от шара, в его зрачок будет попадать в $\sqrt{2}$ раз больше лучистой энергии, чем было испущено свечкой в пределах угла $\Delta \alpha$. Следовательно, на самом деле человек увидит отражение свечки с несколько большего расстояния, чем $r_{1}$, а именно, с расстояния $\sqrt[4]{2} r_{1} \approx l,19 r_{1} \approx 58 м$.
Путнику, возвращавшемуся тёмной ночью домой, в свою деревню, по дороге, идущей прямо к его дому, с расстояния $r = 5 км$ стал виден огонёк свечи в одном из окон. Внутри дома вблизи соседнего окна стоит наряженная к Новому году ёлка с зеркальными шарами. Оцените, на каком расстоянии от дома путнику станет видно отражение свечи в ёлочном шаре диаметром $D = 10 см$, если он идеально отражает свет и находится на расстоянии $a = 1,8 м$ от свечи на линии, перпендикулярной дороге? Окна одинаковые, свеча горит ровно.
Решение:
Свечу $S$, как и её отражение $S^{ \prime}$, при наблюдении с большого расстояния можно считать точечным источником, равномерно излучающим свет во все стороны. Лучи от свечки, находящейся на расстоянии $r$ от человека, расходятся под углом $\Delta \alpha \approx d/r$, где $d$ — диаметр зрачка глаза. Очевидно, что лучи, испущенные свечкой в пределах такого угла, после отражения от шарика будут расходиться уже под большим углом $\Delta \phi$ все попадут в глаз (то есть в пределы зрачка) на гораздо меньшем расстоянии $r_{1}$ от свечки: $d = r \Delta \alpha = r_{1} \Delta \phi$.
Изобразим ход испущенных свечкой лучей при отражении от зеркального шара (см. рис.). Обозначим радиус шарика через $R = D/2$. Для того, чтобы путник увидел отражение свечи в шаре, угол падения лучей на его зеркальную поверхность должен быть близок к $45^{ \circ}$. Поэтому расстояние между точками падения двух лучей, расходящихся из свечки под углом $\Delta \alpha$, на поверхности шарика будет равно $\frac{a \Delta \alpha}{ \cos 45^{ \circ}} = R \Delta \psi$, где $\Delta \psi$ — угол поворота отражающей поверхности между этими точками. Поэтому $\Delta \psi = \frac{ \sqrt{2}a}{R} \Delta \alpha$. Известно, что при повороте луча, падающего на плоское зеркало, на угол $\Delta \alpha$, отражённый луч поворачивается также на $\Delta \alpha$, а при повороте самого зеркала на угол $\Delta \psi$ — луч поворачивается на угол $2 \Delta \psi$. Поэтому
$\Delta \phi = 2 \Delta \psi + \Delta \alpha = \left ( \frac{2 \sqrt{2} a}{R} + 1 \right ) \Delta \alpha$,
и
$r_{1} = \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta \phi} r = \frac{r}{ \frac{2 \sqrt{2} a}{R} + 1} = \frac{r}{ \frac{ 4 \sqrt{2} a}{D} + 1} \approx 48,6 м$.
Поскольку $4 \sqrt{2} a/D \approx \gg 1$, ответ можно записать и так:
$r_{1} \approx \frac{rD}{4 \sqrt{2} a} \approx 50 м$.
Полученную нами оценку можно немного уточнить. Следует отметить, что излученный свечкой свет отражается от искривлённой поверхности, наклонённой под большим углом $\sim 45^{ \circ}$) к падающему пучку. Поэтому лучи света, идущие от свечки в пределах прямого кругового конуса с очень малым углом раствора $\Delta \alpha$, после отражения от шара будут идти внутри конической поверхности практически эллиптического сечения, причём вертикальная полуось эллипса в $\sqrt{2}$ раз меньше горизонтальной. Из-за этого в момент, когда человек будет находиться на определённом нами расстоянии $r_{1}$ от шара, в его зрачок будет попадать в $\sqrt{2}$ раз больше лучистой энергии, чем было испущено свечкой в пределах угла $\Delta \alpha$. Следовательно, на самом деле человек увидит отражение свечки с несколько большего расстояния, чем $r_{1}$, а именно, с расстояния $\sqrt[4]{2} r_{1} \approx l,19 r_{1} \approx 58 м$.
