Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13428
2020-02-20 
По горизонтальному прямому участку железной дороги движется по инерции платформа массой $M = 90 кг$. Колеса платформы очень легкие, трением о рельсы можно пренебречь. В некоторый момент времени, когда скорость платформы была $v = 10 м/с$, пошел дождик из ежиков, каждый из которых имеет массу $m = 0,5 кг$. Каждую секунду на платформу падает один ежик и остается на ней, так как борта платформы1 достаточно высокие. У всех ежиков установившаяся скорость падения имеет горизонтальную составляющую, равную $u = 1 м/с$ и направленную навстречу первоначальной скорости платформы. На какое расстояние $L$ от положения в момент начала дождя сместится платформа к тому моменту, когда ее скорость станет равной нулю? (При расчетах разрешается пользоваться компьютером.)
Решение:
Когда на платформу упал $N$-й ежик, скорость платформы стала равной
$v_{N} = \frac{Mv - Nmu}{M + Nm}$.
С такой скоростью платформа движется в течение промежутка времени $\tau = 1 с$ до момента падения следующего ежика. Скорость платформы с ежиками станет равной нулю через время
$t = \tau \frac{Mv}{mu} - \tau = 1800 с - 1 с$,
т.е. примерно через 0,5 часа после начала дождя. Перемещение платформы равно сумме перемещений за 1799 промежутков времени от момента падения 1-го ежика до момента падения 1800-го ежика. Для нахождения этой суммы можно, конечно, использовать компьютер. Вот результат: $L = 2942,837691 м \approx 2942,84 м$. Однако ответ можно довольно точно найти и аналитически. Поскольку масса каждого ежика значительно меньше массы платформы, изменения скорости платформы при падениях ежиков весьма малы. Следовательно, суммирование отрезков можно заменить интегрированием. Учтем, что текущее значение параметра, по которому проводится интегрирование, отличается от целого числа. Поэтому, например, для отрезка времени от момента начала дождя (падения первого ежика) до момента падения второго ежика число $N$ равно 1, а текущий параметр x при интегрировании выберем так, чтобы его значение менялось в течение первой секунды от 0,5 до 1,5. Тогда
$L = \sum_{N=1}^{ \frac{Mv}{mu}} \frac{Mv - Nmu }{M + Nm} \tau = u \tau \int_{1}^{ \frac{Mv}{mu} } \left ( \frac{ \frac{Mv}{mu} + 0,5 - x }{ \frac{M}{m} - 0,5 + x } \right ) dx = \left ( 1980 ln \frac{1979,5}{180,5} - 1799 \right ) м = 2942,8402 м$.
Заменой переменной $y = x - 0,5 + \frac{M}{m}$ написанное выражение было сведено к интегралу вида $\int \left ( \frac{A}{y} dy - Bdy \right )$. В нем $A$ и $B$ - константы. Как видно, точное значение $L$, найденное суммированием с помощью компьютера, и значение, полученное аналитически, отличаются настолько мало, что относительная ошибка меньше одной миллионной: $\frac{ \Delta L}{L} \approx 0,85 \cdot 10^{-6}$.
По горизонтальному прямому участку железной дороги движется по инерции платформа массой $M = 90 кг$. Колеса платформы очень легкие, трением о рельсы можно пренебречь. В некоторый момент времени, когда скорость платформы была $v = 10 м/с$, пошел дождик из ежиков, каждый из которых имеет массу $m = 0,5 кг$. Каждую секунду на платформу падает один ежик и остается на ней, так как борта платформы1 достаточно высокие. У всех ежиков установившаяся скорость падения имеет горизонтальную составляющую, равную $u = 1 м/с$ и направленную навстречу первоначальной скорости платформы. На какое расстояние $L$ от положения в момент начала дождя сместится платформа к тому моменту, когда ее скорость станет равной нулю? (При расчетах разрешается пользоваться компьютером.)
Решение:
Когда на платформу упал $N$-й ежик, скорость платформы стала равной
$v_{N} = \frac{Mv - Nmu}{M + Nm}$.
С такой скоростью платформа движется в течение промежутка времени $\tau = 1 с$ до момента падения следующего ежика. Скорость платформы с ежиками станет равной нулю через время
$t = \tau \frac{Mv}{mu} - \tau = 1800 с - 1 с$,
т.е. примерно через 0,5 часа после начала дождя. Перемещение платформы равно сумме перемещений за 1799 промежутков времени от момента падения 1-го ежика до момента падения 1800-го ежика. Для нахождения этой суммы можно, конечно, использовать компьютер. Вот результат: $L = 2942,837691 м \approx 2942,84 м$. Однако ответ можно довольно точно найти и аналитически. Поскольку масса каждого ежика значительно меньше массы платформы, изменения скорости платформы при падениях ежиков весьма малы. Следовательно, суммирование отрезков можно заменить интегрированием. Учтем, что текущее значение параметра, по которому проводится интегрирование, отличается от целого числа. Поэтому, например, для отрезка времени от момента начала дождя (падения первого ежика) до момента падения второго ежика число $N$ равно 1, а текущий параметр x при интегрировании выберем так, чтобы его значение менялось в течение первой секунды от 0,5 до 1,5. Тогда
$L = \sum_{N=1}^{ \frac{Mv}{mu}} \frac{Mv - Nmu }{M + Nm} \tau = u \tau \int_{1}^{ \frac{Mv}{mu} } \left ( \frac{ \frac{Mv}{mu} + 0,5 - x }{ \frac{M}{m} - 0,5 + x } \right ) dx = \left ( 1980 ln \frac{1979,5}{180,5} - 1799 \right ) м = 2942,8402 м$.
Заменой переменной $y = x - 0,5 + \frac{M}{m}$ написанное выражение было сведено к интегралу вида $\int \left ( \frac{A}{y} dy - Bdy \right )$. В нем $A$ и $B$ - константы. Как видно, точное значение $L$, найденное суммированием с помощью компьютера, и значение, полученное аналитически, отличаются настолько мало, что относительная ошибка меньше одной миллионной: $\frac{ \Delta L}{L} \approx 0,85 \cdot 10^{-6}$.
