Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13426
2020-02-20 
У идеального трансформатора есть две обмотки с нулевыми сопротивлениями, которые имеют $N$ и $3N$ витков. Если выводы обмотки с большим числом витков подключить к источнику переменного напряжения $u = U_{0} \cos \omega t$, то амплитуда тока холостого хода, когда к выводам второй обмотки ничего не подключают, равна $I_{0}$. Этот трансформатор включили в схему, изображенную на рисунке. ЭДС идеальной батарейки как раз равна $U_{0}$. Сопротивление резистора равно $R$. Ключ замыкают на время $\tau$, а затем размыкают. Как зависят показания идеальных амперметров $A_{1}$ и $A_{2}$ от времени? Постройте графики этих зависимостей.
Решение:
До момента замыкания ключа токов в обмотках трансформатора не было, поэтому магнитный поток в сердечнике был равен нулю. Рассмотрим, как связаны между собой токи, протекающие по обмоткам идеального трансформатора, и как связаны напряжения на выводах его обмоток. "Идеальность" трансформатора означает, что сопротивления проводов, из которых сделаны обмотки, равны нулю и что весь магнитный поток, созданный током в каждом витке, проходит целиком через любой другой виток как первичной, так и вторичной обмотки. Каждый виток первичной обмотки создает в сердечнике трансформатора магнитный поток, пропорциональный протекающему через этот виток току. Обозначим коэффициент пропорциональности через $f$. Каждый виток вторичной обмотки также создает в сердечнике поток, причем коэффициент пропорциональности по модулю такой же, как и для первичной обмотки, но имеет противоположный знак (это связано с выбором знаков клемм амперметров и меток на обмотках трансформатора на рисунке). Пусть через первичную и вторичную обмотки протекают токи $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$ соответственно. Тогда поток магнитного поля через сердечник равен
$\Phi(t) = 3NfI_{1}(t) - NfI_{2}(t) = Nf(3I_{1}(t) - I_{2}(t))$.
Если суммарный поток меняется со временем, то в каждом витке обеих обмоток трансформатора возникает ЭДС индукции $e = - \frac{d \Phi(t)}{dt}$. Общее значение ЭДС на каждой из обмоток пропорционально количеству витков в обмотке:
$\mathcal{E}_{1}(t) = - 3N \frac{ d \Phi(t)}{dt}$, (1)
$\mathcal{E}_{2}(t) = - N \frac{ d \Phi(t)}{dt}$. (2)
Так как омического сопротивления у обмоток нет, то это и есть напряжения на входе и на выходе трансформатора.
Обратим внимание на то, что отношение напряжений на выходе и на входе трансформатора всегда постоянно, а сами эти напряжения зависят только от скорости изменения суммарного потока, создаваемого токами в обмотках. Если разомкнуть вторичную обмотку, то напряжение на первичной обмотке будет равно
$\mathcal{E}_{1}(t) = -9N^{2} f \frac{d I_{1}(t) }{dt}$,
т.е. оставшаяся включенной первичная обмотка ведет себя, как катушка с индуктивностью $L_{1} = 9N^{2}f$. Величину $L_{1}$ мы можем найти из соотношения между амплитудой напряжения и амплитудой силы тока при подключении трансформатора в режиме холостого хода к генератору переменного синусоидального напряжения:
$L_{1} = \frac{U_{0}}{ \omega I_{0} }$.
Теперь вернемся к условию задачи и посмотрим, что будет происходить в цепи после того, как ключ замкнули. Пока ключ замкнут, напряжение на входе (на первичной обмотке трансформатора) равно $U_{0}$. Значит, напряжение на выходе трансформатора тоже постоянно и равно $\frac{U_{0}}{3}$. Соответственно, ток в правой части цепи тоже постоянен и равен
$I_{2}(t) = \frac{U_{0} }{3R}$.
Посмотрим, как меняется магнитный поток через сердечник трансформатора. Для этого можно воспользоваться любым из уравнений (1) или (2). Например, уравнением (1):
$\mathcal{E}_{1}(t) = - U_{0} = - 3N \frac{d \Phi (t) }{dt}$,
откуда
$\Phi(t) = \frac{U_{0}}{3} t + \Phi(0) = \frac{U_{0}}{3N} t$.
Мы использовали тот факт, что непосредственно перед замыканием ключа ($t = 0$) токи в системе не текли, следовательно, магнитный поток в сердечнике трансформатора был равен нулю. Зная зависимость магнитного потока от времени, мы можем найти зависимость тока в левой части цепи от времени:
$\Phi(t) = \frac{U_{0}}{3N} t = Nf (3I_{1} (t) - I_{2} (t )) = Nf \left ( 3I_{1}(t) - \frac{U_{0} }{3R} \right )$,
откуда
$I_{1}(t) = \frac{U_{0} }{9R} + \frac{U_{0} }{9N^{2}f } t$.
Несмотря на то что токи в обеих обмотках трансформатора при замыкании ключа изменились скачкообразно, линейная комбинация этих токов $I_{1} (t) - 3I_{2} (t)$, а вместе с ней и магнитный поток через сердечник трансформатора менялись непрерывно.
Итак, через время $\tau$ после замыкания ключа (т.е. непосредственно перед размыканием) токи в обмотках трансформатора таковы:
$I_{1} = \frac{U_{0}}{9R} + \frac{U_{0} \tau }{9N^{2}f } = I_{10} + \Delta I$,
$I_{2} = \frac{U_{0} }{3R} = 3I_{10}$.
А магнитный поток через сердечник в этот момент равен
$\Phi( \tau) = \frac{U_{0} \tau }{3N}$.
Что же произойдет, если теперь ключ разомкнуть? Ток в левой части цепи скачком упадет до нуля. Ток в правой части найдем из условия сохранения магнитного потока в течение короткого времени размыкания ключа (поток не может мгновенно измениться):
$I_{2} ( \tau + 0 ) = - \frac{U_{0} \tau}{3N^{2}f } = - 3 \Delta I$.
Осталось подставить в полученное выражение значение величины $N^{2}f = \frac{L_{1}}{9} = \frac{U_{0}}{9 \omega I_{0}}$ и получить ответ для тока во вторичной обмотке сразу после размыкания ключа:
$I_{2} ( \tau + 0 ) = - 3 \tau \omega I_{0}$.
После размыкания ключа энергия в сердечнике трансформатора, накопленная в виде энергии магнитного поля, постепенно уменьшается за счет того, что через резистор течет ток и в нем выделяется тепловая энергия. Индуктивность вторичной обмотки трансформатора при разомкнутой первичной обмотке равна
$L_{2} = \frac{L_{1}}{9} = \frac{U_{0}}{81 \omega I_{0} }$.
Закон изменения тока $I_{2}$ со временем после размыкания ключа найдем из уравнения
$I_{2} R = - L_{2} \frac{dI_{2}}{dt}$.
Отсюда следует
$I_{2} (t < \tau ) = - \frac{ U_{0} \tau }{3N^{2}f } e^{ - \frac{R (t - \tau ) }{L_{2} } }$,
т.е. ток $I_{2}$ убывает со временем по экспоненциальному закону с характерным временем
$T = \frac{L_{2}}{R} = \frac{U_{0}}{81R \omega I_{0} }$.
Графики зависимостей токов в обмотках от времени приведены на рисунке.
У идеального трансформатора есть две обмотки с нулевыми сопротивлениями, которые имеют $N$ и $3N$ витков. Если выводы обмотки с большим числом витков подключить к источнику переменного напряжения $u = U_{0} \cos \omega t$, то амплитуда тока холостого хода, когда к выводам второй обмотки ничего не подключают, равна $I_{0}$. Этот трансформатор включили в схему, изображенную на рисунке. ЭДС идеальной батарейки как раз равна $U_{0}$. Сопротивление резистора равно $R$. Ключ замыкают на время $\tau$, а затем размыкают. Как зависят показания идеальных амперметров $A_{1}$ и $A_{2}$ от времени? Постройте графики этих зависимостей.
Решение:
До момента замыкания ключа токов в обмотках трансформатора не было, поэтому магнитный поток в сердечнике был равен нулю. Рассмотрим, как связаны между собой токи, протекающие по обмоткам идеального трансформатора, и как связаны напряжения на выводах его обмоток. "Идеальность" трансформатора означает, что сопротивления проводов, из которых сделаны обмотки, равны нулю и что весь магнитный поток, созданный током в каждом витке, проходит целиком через любой другой виток как первичной, так и вторичной обмотки. Каждый виток первичной обмотки создает в сердечнике трансформатора магнитный поток, пропорциональный протекающему через этот виток току. Обозначим коэффициент пропорциональности через $f$. Каждый виток вторичной обмотки также создает в сердечнике поток, причем коэффициент пропорциональности по модулю такой же, как и для первичной обмотки, но имеет противоположный знак (это связано с выбором знаков клемм амперметров и меток на обмотках трансформатора на рисунке). Пусть через первичную и вторичную обмотки протекают токи $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$ соответственно. Тогда поток магнитного поля через сердечник равен
$\Phi(t) = 3NfI_{1}(t) - NfI_{2}(t) = Nf(3I_{1}(t) - I_{2}(t))$.
Если суммарный поток меняется со временем, то в каждом витке обеих обмоток трансформатора возникает ЭДС индукции $e = - \frac{d \Phi(t)}{dt}$. Общее значение ЭДС на каждой из обмоток пропорционально количеству витков в обмотке:
$\mathcal{E}_{1}(t) = - 3N \frac{ d \Phi(t)}{dt}$, (1)
$\mathcal{E}_{2}(t) = - N \frac{ d \Phi(t)}{dt}$. (2)
Так как омического сопротивления у обмоток нет, то это и есть напряжения на входе и на выходе трансформатора.
Обратим внимание на то, что отношение напряжений на выходе и на входе трансформатора всегда постоянно, а сами эти напряжения зависят только от скорости изменения суммарного потока, создаваемого токами в обмотках. Если разомкнуть вторичную обмотку, то напряжение на первичной обмотке будет равно
$\mathcal{E}_{1}(t) = -9N^{2} f \frac{d I_{1}(t) }{dt}$,
т.е. оставшаяся включенной первичная обмотка ведет себя, как катушка с индуктивностью $L_{1} = 9N^{2}f$. Величину $L_{1}$ мы можем найти из соотношения между амплитудой напряжения и амплитудой силы тока при подключении трансформатора в режиме холостого хода к генератору переменного синусоидального напряжения:
$L_{1} = \frac{U_{0}}{ \omega I_{0} }$.
Теперь вернемся к условию задачи и посмотрим, что будет происходить в цепи после того, как ключ замкнули. Пока ключ замкнут, напряжение на входе (на первичной обмотке трансформатора) равно $U_{0}$. Значит, напряжение на выходе трансформатора тоже постоянно и равно $\frac{U_{0}}{3}$. Соответственно, ток в правой части цепи тоже постоянен и равен
$I_{2}(t) = \frac{U_{0} }{3R}$.
Посмотрим, как меняется магнитный поток через сердечник трансформатора. Для этого можно воспользоваться любым из уравнений (1) или (2). Например, уравнением (1):
$\mathcal{E}_{1}(t) = - U_{0} = - 3N \frac{d \Phi (t) }{dt}$,
откуда
$\Phi(t) = \frac{U_{0}}{3} t + \Phi(0) = \frac{U_{0}}{3N} t$.
Мы использовали тот факт, что непосредственно перед замыканием ключа ($t = 0$) токи в системе не текли, следовательно, магнитный поток в сердечнике трансформатора был равен нулю. Зная зависимость магнитного потока от времени, мы можем найти зависимость тока в левой части цепи от времени:
$\Phi(t) = \frac{U_{0}}{3N} t = Nf (3I_{1} (t) - I_{2} (t )) = Nf \left ( 3I_{1}(t) - \frac{U_{0} }{3R} \right )$,
откуда
$I_{1}(t) = \frac{U_{0} }{9R} + \frac{U_{0} }{9N^{2}f } t$.
Несмотря на то что токи в обеих обмотках трансформатора при замыкании ключа изменились скачкообразно, линейная комбинация этих токов $I_{1} (t) - 3I_{2} (t)$, а вместе с ней и магнитный поток через сердечник трансформатора менялись непрерывно.
Итак, через время $\tau$ после замыкания ключа (т.е. непосредственно перед размыканием) токи в обмотках трансформатора таковы:
$I_{1} = \frac{U_{0}}{9R} + \frac{U_{0} \tau }{9N^{2}f } = I_{10} + \Delta I$,
$I_{2} = \frac{U_{0} }{3R} = 3I_{10}$.
А магнитный поток через сердечник в этот момент равен
$\Phi( \tau) = \frac{U_{0} \tau }{3N}$.
Что же произойдет, если теперь ключ разомкнуть? Ток в левой части цепи скачком упадет до нуля. Ток в правой части найдем из условия сохранения магнитного потока в течение короткого времени размыкания ключа (поток не может мгновенно измениться):
$I_{2} ( \tau + 0 ) = - \frac{U_{0} \tau}{3N^{2}f } = - 3 \Delta I$.
Осталось подставить в полученное выражение значение величины $N^{2}f = \frac{L_{1}}{9} = \frac{U_{0}}{9 \omega I_{0}}$ и получить ответ для тока во вторичной обмотке сразу после размыкания ключа:
$I_{2} ( \tau + 0 ) = - 3 \tau \omega I_{0}$.
После размыкания ключа энергия в сердечнике трансформатора, накопленная в виде энергии магнитного поля, постепенно уменьшается за счет того, что через резистор течет ток и в нем выделяется тепловая энергия. Индуктивность вторичной обмотки трансформатора при разомкнутой первичной обмотке равна
$L_{2} = \frac{L_{1}}{9} = \frac{U_{0}}{81 \omega I_{0} }$.
Закон изменения тока $I_{2}$ со временем после размыкания ключа найдем из уравнения
$I_{2} R = - L_{2} \frac{dI_{2}}{dt}$.
Отсюда следует
$I_{2} (t < \tau ) = - \frac{ U_{0} \tau }{3N^{2}f } e^{ - \frac{R (t - \tau ) }{L_{2} } }$,
т.е. ток $I_{2}$ убывает со временем по экспоненциальному закону с характерным временем
$T = \frac{L_{2}}{R} = \frac{U_{0}}{81R \omega I_{0} }$.
Графики зависимостей токов в обмотках от времени приведены на рисунке.
