Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13421
2020-02-20 
На тело, которое в начальный момент имело скорость $\vec{v}$, начинает действовать постоянная сила $\vec{F}$. Спустя время $\tau$ величина скорости тела стала равной $v/2$. За следующий такой же интервал времени модуль скорости уменьшился еще в два раза. Определите, в какой момент времени $t_{1}$ вектор скорости тела будет перпендикулярен вектору начальной скорости. Чему будет равна по величине скорость тела спустя интервал времени $3 \tau$ с начала действия силы? Через какое время $t_{2}$ с момента начала действия силы скорость тела по модулю снова будет равна $v$? Чему равна масса $M$ тела?
Решение:
Обозначим отношение величины изменения скорости за время $\tau$ к величине скорости $v$ через $x$, а величину косинуса угла между начальной скоростью $\vec{v}$ и направлением силы $\vec{F}$ - через $y$. Из условия прежде всего следуют такие два уравнения:
$1 + 2xy + x^{2} = \frac{1}{4}$ и $1 + 4xy + 4x^{2} = \frac{1}{16}$.
Этим уравнениям соответствуют значения
$x = \frac{3}{4 \sqrt{2} }$ и $y = - \frac{11 \sqrt{2} }{16}$.
В момент времени $t_{1}$, когда новая скорость перпендикулярна начальной скорости, выполняется соотношение
$1 + \frac{xyt_{1}}{ \tau} = 0$,
откуда следует
$t_{1} = \frac{64}{33} \tau$.
Отношение квадрата скорости $z^{2}$ в момент времени $3 \tau$ к величине $v^{2}$ равно
$\frac{z^{2}}{v^{2} } = 1 + 6xy + 9x^{2}$.
Отсюда находим величину скорости тела в момент времени $3 \tau$:
$z = \frac{ \sqrt{7} }{4} v$.
Для нахождения момента времени $t_{2}$, когда величина скорости снова примет значение $v$, нужно решить такое уравнение:
$1 + \frac{2xyt_{2}}{ \tau } + \left ( \frac{t_{2}x }{ \tau } \right )^{2} = 1$.
Это уравнение имеет два решения, одно из которых $t_{2} = 0$ соответствует начальному моменту времени, а второе решение - это то время, которое нас интересует:
$t_{2} = \frac{11}{3} \tau$.
Изменение скорости тела за время $\tau$ под действие силы $F$ равно $\frac{3}{4 \sqrt{2} } v$, следовательно, масса тела равна
$M = \frac{4 \sqrt{2} }{3} \frac{F \tau }{v}$.
На тело, которое в начальный момент имело скорость $\vec{v}$, начинает действовать постоянная сила $\vec{F}$. Спустя время $\tau$ величина скорости тела стала равной $v/2$. За следующий такой же интервал времени модуль скорости уменьшился еще в два раза. Определите, в какой момент времени $t_{1}$ вектор скорости тела будет перпендикулярен вектору начальной скорости. Чему будет равна по величине скорость тела спустя интервал времени $3 \tau$ с начала действия силы? Через какое время $t_{2}$ с момента начала действия силы скорость тела по модулю снова будет равна $v$? Чему равна масса $M$ тела?
Решение:
Обозначим отношение величины изменения скорости за время $\tau$ к величине скорости $v$ через $x$, а величину косинуса угла между начальной скоростью $\vec{v}$ и направлением силы $\vec{F}$ - через $y$. Из условия прежде всего следуют такие два уравнения:
$1 + 2xy + x^{2} = \frac{1}{4}$ и $1 + 4xy + 4x^{2} = \frac{1}{16}$.
Этим уравнениям соответствуют значения
$x = \frac{3}{4 \sqrt{2} }$ и $y = - \frac{11 \sqrt{2} }{16}$.
В момент времени $t_{1}$, когда новая скорость перпендикулярна начальной скорости, выполняется соотношение
$1 + \frac{xyt_{1}}{ \tau} = 0$,
откуда следует
$t_{1} = \frac{64}{33} \tau$.
Отношение квадрата скорости $z^{2}$ в момент времени $3 \tau$ к величине $v^{2}$ равно
$\frac{z^{2}}{v^{2} } = 1 + 6xy + 9x^{2}$.
Отсюда находим величину скорости тела в момент времени $3 \tau$:
$z = \frac{ \sqrt{7} }{4} v$.
Для нахождения момента времени $t_{2}$, когда величина скорости снова примет значение $v$, нужно решить такое уравнение:
$1 + \frac{2xyt_{2}}{ \tau } + \left ( \frac{t_{2}x }{ \tau } \right )^{2} = 1$.
Это уравнение имеет два решения, одно из которых $t_{2} = 0$ соответствует начальному моменту времени, а второе решение - это то время, которое нас интересует:
$t_{2} = \frac{11}{3} \tau$.
Изменение скорости тела за время $\tau$ под действие силы $F$ равно $\frac{3}{4 \sqrt{2} } v$, следовательно, масса тела равна
$M = \frac{4 \sqrt{2} }{3} \frac{F \tau }{v}$.
