Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13406
2020-02-20 
Полярники в Антарктиде пробурили в толстом слое льда, покрывающего землю, глубокую скважину и опустили в нее лампочку накаливания мощностью 1000 Вт и пластиковую трубку для откачивания жидкой воды, получающейся в результате таяния льда. Лампочка посылает свет равномерно по всем направлениям. Лед мутный, и свет целиком поглощается в слое небольшой толщины - меньше 1 см. На той глубине, где находится лампочка, в толще льда температура постоянна и равна $-10^{ \circ} С$ . Теплопроводность льда составляет $2,2 Вт/(К \cdot м)$. Через большое время размеры оттаявшей области, которая имеет форму шара (лампочка в его центре), установились. Каков радиус этого шара?
Решение:
В том случае когда размер полости уже установился, поток мощности $W$ от лампочки равен потоку тепла через лед из этой области в окружающие слои льда. На расстоянии $x$ от лампочки поток тепла равен площади поверхности шара радиусом $x$, умноженной на теплопроводность льда $\lambda$ и на "скорость изменения" температуры с расстоянием $\frac{ \Delta T}{ \Delta x}$. Получается такое соотношение:
$- 4 \pi x^{2} \lambda \frac{ \Delta T}{ \Delta x} = W$,
или
$- \Delta T = \frac{W}{4 \pi \lambda } \frac{ \Delta x}{x^{2}}$.
Это уравнение связывает изменение температуры и изменение расстояния от лампочки. Суммируем малые изменения величин по одну и по другую сторону от знака равенства. В результате такого суммирования (интегрирования) получаем
$T_{поверхн} - T_{ \infty} = \frac{W}{4 \pi \lambda R} - \frac{W}{4 \pi \lambda R_{ \infty} }$.
На большом расстоянии от лампочки температура льда равна $-10^{ \circ} С$, а на стенках возникшего вокруг лампочки пустого шара температура равна $0^{ \circ} С$. Таким образом, радиус образовавшейся сферической полости равен
$R = \frac{1000 Вт}{4 \pi \cdot 10 К \cdot 2,2 Вт/(К \cdot м)} = 3,62 м$.
Полярники в Антарктиде пробурили в толстом слое льда, покрывающего землю, глубокую скважину и опустили в нее лампочку накаливания мощностью 1000 Вт и пластиковую трубку для откачивания жидкой воды, получающейся в результате таяния льда. Лампочка посылает свет равномерно по всем направлениям. Лед мутный, и свет целиком поглощается в слое небольшой толщины - меньше 1 см. На той глубине, где находится лампочка, в толще льда температура постоянна и равна $-10^{ \circ} С$ . Теплопроводность льда составляет $2,2 Вт/(К \cdot м)$. Через большое время размеры оттаявшей области, которая имеет форму шара (лампочка в его центре), установились. Каков радиус этого шара?
Решение:
В том случае когда размер полости уже установился, поток мощности $W$ от лампочки равен потоку тепла через лед из этой области в окружающие слои льда. На расстоянии $x$ от лампочки поток тепла равен площади поверхности шара радиусом $x$, умноженной на теплопроводность льда $\lambda$ и на "скорость изменения" температуры с расстоянием $\frac{ \Delta T}{ \Delta x}$. Получается такое соотношение:
$- 4 \pi x^{2} \lambda \frac{ \Delta T}{ \Delta x} = W$,
или
$- \Delta T = \frac{W}{4 \pi \lambda } \frac{ \Delta x}{x^{2}}$.
Это уравнение связывает изменение температуры и изменение расстояния от лампочки. Суммируем малые изменения величин по одну и по другую сторону от знака равенства. В результате такого суммирования (интегрирования) получаем
$T_{поверхн} - T_{ \infty} = \frac{W}{4 \pi \lambda R} - \frac{W}{4 \pi \lambda R_{ \infty} }$.
На большом расстоянии от лампочки температура льда равна $-10^{ \circ} С$, а на стенках возникшего вокруг лампочки пустого шара температура равна $0^{ \circ} С$. Таким образом, радиус образовавшейся сферической полости равен
$R = \frac{1000 Вт}{4 \pi \cdot 10 К \cdot 2,2 Вт/(К \cdot м)} = 3,62 м$.
