Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1340
2016-10-21 
Посеребрённая изнутри (зеркальная) стеклянная сфера имеет круглое отверстие с углом раствора $2 \alpha$, в которое падает однородный параллельный пучок лучей, перпендикулярный плоскости отверстия (см. рисунок). Часть лучей, претерпев одно отражение, выйдет из сферы обратно через отверстие. Какую долю мощности вошедшего пучка они составляют? Угол $\alpha$ — произвольный.
Решение:
Луч, попадающий в точку А на внутренней поверхности сферы, отражается и попадает затем в точку В на сфере (или её продолжении) — см. рисунок. Обозначим $\angle AOO^{ \prime} = \beta$. Из геометрических построений, сделанных с учётом закона отражения света, вытекают следующие соотношения: $\angle OAA^{ \prime \prime} = \angle OAB = \beta; \angle AOB = \pi - 2 \beta$. Следовательно, $\angle O^{ \prime}OB = \pi — 3 \beta$.
Луч света после отражения выйдет из сферы, если $\angle O^{ \prime}OB > \pi - \alpha$, то есть если $\beta < \alpha /3$. Отметим, что при тупых углах $\alpha$ возможны случаи, когда все падающие лучи после отражения выйдут обратно. Такое произойдёт при $\alpha /3 > \pi — \alpha$, то есть при $\alpha > 3 \pi /4$.
Искомая доля мощности пучка, вышедшего из сферы, равна отношению площадей, на которые приходятся пучок, претерпевающий отражение, и падающий пучок. В результате получаем:
$n = \left ( \frac{ \sin ( \alpha /3)}{ \sin \alpha} \right )^{3}$.
Этот ответ справедлив при $\alpha \leq 3 \pi/4$. При $\alpha > 3 \pi /4$ весь отражённый свет выйдет из сферы, то есть $n = 1$.
Посеребрённая изнутри (зеркальная) стеклянная сфера имеет круглое отверстие с углом раствора $2 \alpha$, в которое падает однородный параллельный пучок лучей, перпендикулярный плоскости отверстия (см. рисунок). Часть лучей, претерпев одно отражение, выйдет из сферы обратно через отверстие. Какую долю мощности вошедшего пучка они составляют? Угол $\alpha$ — произвольный.
Решение:
Луч, попадающий в точку А на внутренней поверхности сферы, отражается и попадает затем в точку В на сфере (или её продолжении) — см. рисунок. Обозначим $\angle AOO^{ \prime} = \beta$. Из геометрических построений, сделанных с учётом закона отражения света, вытекают следующие соотношения: $\angle OAA^{ \prime \prime} = \angle OAB = \beta; \angle AOB = \pi - 2 \beta$. Следовательно, $\angle O^{ \prime}OB = \pi — 3 \beta$.
Луч света после отражения выйдет из сферы, если $\angle O^{ \prime}OB > \pi - \alpha$, то есть если $\beta < \alpha /3$. Отметим, что при тупых углах $\alpha$ возможны случаи, когда все падающие лучи после отражения выйдут обратно. Такое произойдёт при $\alpha /3 > \pi — \alpha$, то есть при $\alpha > 3 \pi /4$.
Искомая доля мощности пучка, вышедшего из сферы, равна отношению площадей, на которые приходятся пучок, претерпевающий отражение, и падающий пучок. В результате получаем:
$n = \left ( \frac{ \sin ( \alpha /3)}{ \sin \alpha} \right )^{3}$.
Этот ответ справедлив при $\alpha \leq 3 \pi/4$. При $\alpha > 3 \pi /4$ весь отражённый свет выйдет из сферы, то есть $n = 1$.
