Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13395
2020-02-20 
На гладкой безграничной горизонтальной поверхности нарисован квадрат с длиной ребра $2a$. Ребра квадрата ориентированы1 в направлениях север-юг и восток-запад. В углы квадрата вертикально вбиты четыре тонких гвоздя, которые выступают над поверхностью. К юго-восточному гвоздю с координатами относительно центра квадрата ($-1a$ на север; $+1a$ на восток) прикреплена тонкая невесомая нерастяжимая нить длиной $100a$, которая выдерживает максимальную силу растяжения $F$. Нить выпрямлена и вытянута в направлении от места крепления на восток. К свободному концу нити прикреплена шайба малые размеров массой $M$. Шайбе придали толчком скорость $v$ в направлении на север. Какими будут координаты шайбы через время $t$ после толчка? Числовые значения параметров: $m = 1 кг, a = 1 см, F = 1,18 Н, t = 20 с, v = 1 м/с$. При решении задачи рекомендуется пользоваться компьютером.
Решение:
Сначала разберем возможные варианты движения шайбы в общем виде, а затем, подставив численные значения, узнаем, какой из вариантов на самом деле реализовался.
Если величина $\frac{mv^{2}}{100a} > F$, то нить порвется сразу после толчка шайбы и шайба полетит (заскользит) в направлении на север. Тогда ее координаты в момент времени $t$ будут $(vt - a; 1a)$. Это справедливо при условии, что найденные величины координат все-таки много меньше радиуса Земли.
Если указанное неравенство не выполняется, то по мере наматывания нити на гвозди ее сила натяжения растет "скачками" и в некоторый момент может превысить значение $F$. Иными словами, при выполнении неравенства $\frac{mv^{2}}{2a} > F$ нить порвется в тот момент, когда ее "свободный" участок будет меньше величины $\frac{mv^{2}}{F}$. Пусть $\frac{mv^{2}}{F} = a (100 - 2N + n)$, где $2N$ -целое четное число, меньшее 100, а $0 < n < 2$. Тогда к моменту разрыва нити шайба может проскользить по поверхности путь
$s = 0,5 \pi (100a + 98a + \cdots + (100 - 2N)a)$.
Скольжение происходит с неизменной по величине скоростью $v$. Если $t < \frac{s}{v}$, то нить к этому моменту еще не порвалась, а если $t > \frac{s}{v}$, то нить уже успела порваться. И так далее...
Понятно, что вариантов для исследования очень много и для сужения круга поиска нужно воспользоваться данными в условии численными значениями величин. Данное в условии значение предельной величины силы $F = 1,18 Н$ больше величины $\frac{mv^{2}}{100a} = 1 H$, но $\frac{mv^{2}}{100a - N_{min} \cdot 2a} > 1,18 H$. Отсюда находим: $N_{min} = 9$, т.е. при $N = 8$ нить еще не рвется. Следовательно, путь, пройденный шайбой до момента разрыва нити, равен
$s = 0,5 \pi (100a + 98a + \cdots + 84a) = 13,006 м$.
Оказывается, в течение первых 13 секунд шайба оставалась прикрепленной к нити, а в момент 13,006 с нить порвалась. К этому моменту скорость нити вновь приобрела направление на север, а свободный участок нити укоротился на 16 см. Оставшиеся почти 7 секунд (без 0,006 с) шайба двигалась с постоянной скоростью. Итак, координаты шайбы к моменту времени 20 с после толчка таковы: (699 см на север; 85 см на восток).
На гладкой безграничной горизонтальной поверхности нарисован квадрат с длиной ребра $2a$. Ребра квадрата ориентированы1 в направлениях север-юг и восток-запад. В углы квадрата вертикально вбиты четыре тонких гвоздя, которые выступают над поверхностью. К юго-восточному гвоздю с координатами относительно центра квадрата ($-1a$ на север; $+1a$ на восток) прикреплена тонкая невесомая нерастяжимая нить длиной $100a$, которая выдерживает максимальную силу растяжения $F$. Нить выпрямлена и вытянута в направлении от места крепления на восток. К свободному концу нити прикреплена шайба малые размеров массой $M$. Шайбе придали толчком скорость $v$ в направлении на север. Какими будут координаты шайбы через время $t$ после толчка? Числовые значения параметров: $m = 1 кг, a = 1 см, F = 1,18 Н, t = 20 с, v = 1 м/с$. При решении задачи рекомендуется пользоваться компьютером.
Решение:
Сначала разберем возможные варианты движения шайбы в общем виде, а затем, подставив численные значения, узнаем, какой из вариантов на самом деле реализовался.
Если величина $\frac{mv^{2}}{100a} > F$, то нить порвется сразу после толчка шайбы и шайба полетит (заскользит) в направлении на север. Тогда ее координаты в момент времени $t$ будут $(vt - a; 1a)$. Это справедливо при условии, что найденные величины координат все-таки много меньше радиуса Земли.
Если указанное неравенство не выполняется, то по мере наматывания нити на гвозди ее сила натяжения растет "скачками" и в некоторый момент может превысить значение $F$. Иными словами, при выполнении неравенства $\frac{mv^{2}}{2a} > F$ нить порвется в тот момент, когда ее "свободный" участок будет меньше величины $\frac{mv^{2}}{F}$. Пусть $\frac{mv^{2}}{F} = a (100 - 2N + n)$, где $2N$ -целое четное число, меньшее 100, а $0 < n < 2$. Тогда к моменту разрыва нити шайба может проскользить по поверхности путь
$s = 0,5 \pi (100a + 98a + \cdots + (100 - 2N)a)$.
Скольжение происходит с неизменной по величине скоростью $v$. Если $t < \frac{s}{v}$, то нить к этому моменту еще не порвалась, а если $t > \frac{s}{v}$, то нить уже успела порваться. И так далее...
Понятно, что вариантов для исследования очень много и для сужения круга поиска нужно воспользоваться данными в условии численными значениями величин. Данное в условии значение предельной величины силы $F = 1,18 Н$ больше величины $\frac{mv^{2}}{100a} = 1 H$, но $\frac{mv^{2}}{100a - N_{min} \cdot 2a} > 1,18 H$. Отсюда находим: $N_{min} = 9$, т.е. при $N = 8$ нить еще не рвется. Следовательно, путь, пройденный шайбой до момента разрыва нити, равен
$s = 0,5 \pi (100a + 98a + \cdots + 84a) = 13,006 м$.
Оказывается, в течение первых 13 секунд шайба оставалась прикрепленной к нити, а в момент 13,006 с нить порвалась. К этому моменту скорость нити вновь приобрела направление на север, а свободный участок нити укоротился на 16 см. Оставшиеся почти 7 секунд (без 0,006 с) шайба двигалась с постоянной скоростью. Итак, координаты шайбы к моменту времени 20 с после толчка таковы: (699 см на север; 85 см на восток).
