Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13383
2020-02-20 
Имеется гексагональная бесконечная сетка. Каждые два узла сетки характеризуются минимальным количеством "мостиков", которые нужно преодолеть, чтобы из одного узла перебраться в другой. Каждое звено такой сетки, расположенное между двумя соседними узлами, имеет сопротивление $R$. К каждому узлу сетки подключены три таких звена. От узла А можно вдоль проволочек (звеньев) сетки передвинуться к трем ближайшим узлам В сетки. От этих трех узлов по другим проволочкам можно перебраться к следующим по удаленности от точки А шести узлам С. Начиная с этих узлов С, симметрия перемещения по мостикам нарушается. Если батарейка подключена к двум узлам сетки, расположенным очень далеко друг от друга, то от каждого узла С токи, уходящие по двум проволочкам к следующим по удаленности от А узлам, имеют два разных значения, и их отношение неизвестно. Предположим, что отношение токов равно $k$. Найдите сопротивления сетки между узлом А и некоторыми узлами сетки, которые отстоят от А на 5 проволочек-мостиков.
Решение:
На рисунке изображен участок бесконечной гексагональной сетки и на нем отмечены несколько узлов. Будем вести отсчет от узла А. Пятью (минимум) мостиками с узлом А связаны узлы, обозначенные буквами H, N, M. Конечно, есть и другие узлы с таким же минимальным количеством мостиков от них до узла А, но они по расположению эквивалентны отмеченным трем узлам.
Согласно условию задачи, отношение токов, разбегающихся от узла С, в мостиках CV и CD равно $k$. В мостике CV течет ток $I_{CV} = \frac{k \mathcal{E}}{6R}$, где $\mathcal{E}$ - напряжение батарейки, а в мостике CD течет ток $I_{CD} = \frac{(1 - k) \mathcal{E}}{6R}$. Тогда на участке VF течет ток $\frac{2k \mathcal{E}}{6R}$, а на участке FH течет ток такой же, как на участке CV, т.е. $\frac{k \mathcal{E}}{6R}$. Узлы, эквивалентные узлу H, отмечены на рисунке звездочками.
Итак, нашлись пять мостиков, соединяющих узел А с другими узлами сетки, на которых можно найти падения напряжения. До узлов, отмеченных буквами М и N, нельзя добраться по мостикам, падения напряжения на которых известны.
Если в узел А с помощью батарейки "запустить" ток $I$, а из узла H "вынуть" такой же ток с помощью другой такой же батарейки, то падения напряжения на мостиках будут такими:
$U_{AB} = \frac{IR}{3} + \frac{kIR}{6}$,
$U_{BC} = \frac{IR}{6} + \frac{2kIR}{6}$,
$U_{CV} = \frac{2kIR}{6}$,
$U_{VF} = \frac{2kIR}{6} + \frac{IR}{6}$,
$U_{FH} = \frac{kIR}{6} + \frac{IR}{3}$.
В результате получаем, что при токе $I$ напряжение между точками А и H равно
$U_{AH} = U_{AB} + U_{BC} + U_{CV} + U_{VF} + U_{FH} = IR \left ( 1 + \frac{4k}{3} \right )$.
А сопротивление между этими точками составляет
$R_{AH} = \frac{U_{AH} }{I} = R \left ( 1 + \frac{4k}{3} \right )$.
Имеется гексагональная бесконечная сетка. Каждые два узла сетки характеризуются минимальным количеством "мостиков", которые нужно преодолеть, чтобы из одного узла перебраться в другой. Каждое звено такой сетки, расположенное между двумя соседними узлами, имеет сопротивление $R$. К каждому узлу сетки подключены три таких звена. От узла А можно вдоль проволочек (звеньев) сетки передвинуться к трем ближайшим узлам В сетки. От этих трех узлов по другим проволочкам можно перебраться к следующим по удаленности от точки А шести узлам С. Начиная с этих узлов С, симметрия перемещения по мостикам нарушается. Если батарейка подключена к двум узлам сетки, расположенным очень далеко друг от друга, то от каждого узла С токи, уходящие по двум проволочкам к следующим по удаленности от А узлам, имеют два разных значения, и их отношение неизвестно. Предположим, что отношение токов равно $k$. Найдите сопротивления сетки между узлом А и некоторыми узлами сетки, которые отстоят от А на 5 проволочек-мостиков.
Решение:
На рисунке изображен участок бесконечной гексагональной сетки и на нем отмечены несколько узлов. Будем вести отсчет от узла А. Пятью (минимум) мостиками с узлом А связаны узлы, обозначенные буквами H, N, M. Конечно, есть и другие узлы с таким же минимальным количеством мостиков от них до узла А, но они по расположению эквивалентны отмеченным трем узлам.
Согласно условию задачи, отношение токов, разбегающихся от узла С, в мостиках CV и CD равно $k$. В мостике CV течет ток $I_{CV} = \frac{k \mathcal{E}}{6R}$, где $\mathcal{E}$ - напряжение батарейки, а в мостике CD течет ток $I_{CD} = \frac{(1 - k) \mathcal{E}}{6R}$. Тогда на участке VF течет ток $\frac{2k \mathcal{E}}{6R}$, а на участке FH течет ток такой же, как на участке CV, т.е. $\frac{k \mathcal{E}}{6R}$. Узлы, эквивалентные узлу H, отмечены на рисунке звездочками.
Итак, нашлись пять мостиков, соединяющих узел А с другими узлами сетки, на которых можно найти падения напряжения. До узлов, отмеченных буквами М и N, нельзя добраться по мостикам, падения напряжения на которых известны.
Если в узел А с помощью батарейки "запустить" ток $I$, а из узла H "вынуть" такой же ток с помощью другой такой же батарейки, то падения напряжения на мостиках будут такими:
$U_{AB} = \frac{IR}{3} + \frac{kIR}{6}$,
$U_{BC} = \frac{IR}{6} + \frac{2kIR}{6}$,
$U_{CV} = \frac{2kIR}{6}$,
$U_{VF} = \frac{2kIR}{6} + \frac{IR}{6}$,
$U_{FH} = \frac{kIR}{6} + \frac{IR}{3}$.
В результате получаем, что при токе $I$ напряжение между точками А и H равно
$U_{AH} = U_{AB} + U_{BC} + U_{CV} + U_{VF} + U_{FH} = IR \left ( 1 + \frac{4k}{3} \right )$.
А сопротивление между этими точками составляет
$R_{AH} = \frac{U_{AH} }{I} = R \left ( 1 + \frac{4k}{3} \right )$.
