Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13382
2020-02-20 
Куб с ребром $A$ и с равномерно распределенной по объему массой $M$, начальная скорость которого $v$ направлена вдоль четырех ребер куба, движется в разреженном газе с концентрацией $n$ молекул с массами $m \ll M$ и температурой $T$. Удары молекул о гладкие стенки куба абсолютно упругие. Длина свободного пробега молекул много больше ребра куба, т.е. $\lambda \gg A$, а $n \gg \frac{1}{A^{3}}$. Каково ускорение куба? Рассмотрите только два крайних случая: а) $v^{2} \gg \frac{kT}{m}$; б) $v^{2} \ll \frac{kT}{m}$.
Решение:
Поскольку газ разрежен, после удара какой-либо молекулы о стенку куба они - куб и молекула - потом долго не встречаются. Скорости молекул имеют составляющие вдоль и поперек скорости куба $\vec{v}$. Поперечные составляющие скоростей молекул после ударов о стенки куба по величине не изменяются, так как стенки куба гладкие и удары абсолютно упругие. По отношению к направлению движения куба естественно назвать одну из его граней передней, а противоположную ей -задней. Удары молекул о переднюю грань тормозят куб, а удары о заднюю грань подгоняют его.
В случае а) молекулы никогда не ударяются о заднюю грань куба, и движением газа вообще можно пренебречь. Тогда каждая молекула, столкнувшись с передней гранью куба, приобретает скорость $2 \vec{v}$, т.е. получает от куба импульс $2m \vec{v}$. За время $t$ с передней гранью столкнутся $N = vtA^{2}n$ молекул. Поэтому ускорение куба будет равно
$\vec{a} = - \vec{v} \frac{2Nm}{Mt} = - \vec{v} \frac{2mvA^{2}n }{M}$.
В случае б) молекулы ударяются и о переднюю и о заднюю грани куба. Величины составляющих скоростей молекул при таких ударах изменяются: на передней грани возрастают на $2v$, а на задней убывают на $2v$. За время $t$ на передней грани происходит примерно $tA^{2}n \frac{v + \sqrt{ \frac{kT}{2m}} }{2}$ ударов, а на задней - примерно $\frac{tA^{2}n \left ( - v + \sqrt{ \frac{kT}{2m}} \right ) }{2}$ ударов. В результате ускорение куба будет равно
$\vec{a} = - \vec{v} \frac{2mvA^{2}n }{M}$.
Заметим, что формулы для ускорений в обоих частных случаях получились одинаковыми. Попробуйте самостоятельно рассмотреть общий случай, когда не выполняется ни условия а), ни условие б).
Куб с ребром $A$ и с равномерно распределенной по объему массой $M$, начальная скорость которого $v$ направлена вдоль четырех ребер куба, движется в разреженном газе с концентрацией $n$ молекул с массами $m \ll M$ и температурой $T$. Удары молекул о гладкие стенки куба абсолютно упругие. Длина свободного пробега молекул много больше ребра куба, т.е. $\lambda \gg A$, а $n \gg \frac{1}{A^{3}}$. Каково ускорение куба? Рассмотрите только два крайних случая: а) $v^{2} \gg \frac{kT}{m}$; б) $v^{2} \ll \frac{kT}{m}$.
Решение:
Поскольку газ разрежен, после удара какой-либо молекулы о стенку куба они - куб и молекула - потом долго не встречаются. Скорости молекул имеют составляющие вдоль и поперек скорости куба $\vec{v}$. Поперечные составляющие скоростей молекул после ударов о стенки куба по величине не изменяются, так как стенки куба гладкие и удары абсолютно упругие. По отношению к направлению движения куба естественно назвать одну из его граней передней, а противоположную ей -задней. Удары молекул о переднюю грань тормозят куб, а удары о заднюю грань подгоняют его.
В случае а) молекулы никогда не ударяются о заднюю грань куба, и движением газа вообще можно пренебречь. Тогда каждая молекула, столкнувшись с передней гранью куба, приобретает скорость $2 \vec{v}$, т.е. получает от куба импульс $2m \vec{v}$. За время $t$ с передней гранью столкнутся $N = vtA^{2}n$ молекул. Поэтому ускорение куба будет равно
$\vec{a} = - \vec{v} \frac{2Nm}{Mt} = - \vec{v} \frac{2mvA^{2}n }{M}$.
В случае б) молекулы ударяются и о переднюю и о заднюю грани куба. Величины составляющих скоростей молекул при таких ударах изменяются: на передней грани возрастают на $2v$, а на задней убывают на $2v$. За время $t$ на передней грани происходит примерно $tA^{2}n \frac{v + \sqrt{ \frac{kT}{2m}} }{2}$ ударов, а на задней - примерно $\frac{tA^{2}n \left ( - v + \sqrt{ \frac{kT}{2m}} \right ) }{2}$ ударов. В результате ускорение куба будет равно
$\vec{a} = - \vec{v} \frac{2mvA^{2}n }{M}$.
Заметим, что формулы для ускорений в обоих частных случаях получились одинаковыми. Попробуйте самостоятельно рассмотреть общий случай, когда не выполняется ни условия а), ни условие б).
