Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13376
2020-02-20 
Из множества одинаковых вольтметров собрана обычная "бесконечная" цепь, подключенная к батарейке. Первый из вольтметров показывает больше всех - его стрелка отклоняется почти на всю шкалу. Погрешность приборов составляет 1%. Сколько приборов показывают напряжения, превышающие порог погрешности?
Решение:
Вот так выглядит обычная "бесконечная" цепь из вольтметров:
Если сопротивление одного вольтметра равно $R$, то сопротивление $Z$ всей цепочки вольтметров можно найти из уравнения
$R + \frac{RZ}{R + Z} = Z$, откуда $Z = R \frac{ \sqrt{r} + 1 }{2}$.
Если ЭДС батарейки равна $\mathcal{E}$, то первый вольтметр покажет значение $U_{1} = \frac{ \mathcal{E}R}{Z} = \frac{2 \mathcal{E}}{ \sqrt{5} + 1}$, второй вольтметр покажет $\mathcal{E} - \frac{2 \mathcal{E}}{ \sqrt{5} + 1} = \mathcal{E} \frac{ \sqrt{5} + 1}{ \sqrt{5} + 1 }$, третий покажет $2 \mathcal{E} \frac{ \sqrt{5} - 1}{ ( \sqrt{5} + 1)^{2}}$, четвертый - $\mathcal{E} \frac{( \sqrt{5} - 1)^{2}}{( \sqrt{5} + 1)^{2}}$ и т.д. В результате все нечетные вольтметры - их $n$ - показывают значения
$U_{n} = U_{1} \left ( \frac{ \sqrt{5} - 1 }{ \sqrt{5} + 1 } \right )^{ \frac{n - 1}{2} }$
Все четные вольтметры - их $k$ - показывают значения
$U_{k} = U_{1} \frac{ \sqrt{5} + 1 }{2} \left ( \frac{ \sqrt{5} - 1}{ \sqrt{5} + 1} \right )^{ \frac{k}{2} }$.
Чтобы нечетный вольтметр показывал значение меньше, чем погрешность прибора, его номер n должен быть таким, чтобы выполнялось неравенство
$\left ( \frac{ \sqrt{5} - 1 }{ \sqrt{5} + 1 } \right )^{ \frac{n - 1}{2}} < 0,01$.
Отсюда находим $n = 11$. Чтобы четный вольтметр показывал значение меньше, чем погрешность прибора, нужно, чтобы
$\frac{ \sqrt{5} + 1}{2} \left ( \frac{ \sqrt{5} - 1}{ \sqrt{5} + 1 } \right )^{ \frac{k}{2} } < 0,01$.
Отсюда получаем $k = 12$.
Следовательно, всего 12 приборов показывают напряжения большие, чем их погрешность.
Из множества одинаковых вольтметров собрана обычная "бесконечная" цепь, подключенная к батарейке. Первый из вольтметров показывает больше всех - его стрелка отклоняется почти на всю шкалу. Погрешность приборов составляет 1%. Сколько приборов показывают напряжения, превышающие порог погрешности?
Решение:
Вот так выглядит обычная "бесконечная" цепь из вольтметров:
Если сопротивление одного вольтметра равно $R$, то сопротивление $Z$ всей цепочки вольтметров можно найти из уравнения
$R + \frac{RZ}{R + Z} = Z$, откуда $Z = R \frac{ \sqrt{r} + 1 }{2}$.
Если ЭДС батарейки равна $\mathcal{E}$, то первый вольтметр покажет значение $U_{1} = \frac{ \mathcal{E}R}{Z} = \frac{2 \mathcal{E}}{ \sqrt{5} + 1}$, второй вольтметр покажет $\mathcal{E} - \frac{2 \mathcal{E}}{ \sqrt{5} + 1} = \mathcal{E} \frac{ \sqrt{5} + 1}{ \sqrt{5} + 1 }$, третий покажет $2 \mathcal{E} \frac{ \sqrt{5} - 1}{ ( \sqrt{5} + 1)^{2}}$, четвертый - $\mathcal{E} \frac{( \sqrt{5} - 1)^{2}}{( \sqrt{5} + 1)^{2}}$ и т.д. В результате все нечетные вольтметры - их $n$ - показывают значения
$U_{n} = U_{1} \left ( \frac{ \sqrt{5} - 1 }{ \sqrt{5} + 1 } \right )^{ \frac{n - 1}{2} }$
Все четные вольтметры - их $k$ - показывают значения
$U_{k} = U_{1} \frac{ \sqrt{5} + 1 }{2} \left ( \frac{ \sqrt{5} - 1}{ \sqrt{5} + 1} \right )^{ \frac{k}{2} }$.
Чтобы нечетный вольтметр показывал значение меньше, чем погрешность прибора, его номер n должен быть таким, чтобы выполнялось неравенство
$\left ( \frac{ \sqrt{5} - 1 }{ \sqrt{5} + 1 } \right )^{ \frac{n - 1}{2}} < 0,01$.
Отсюда находим $n = 11$. Чтобы четный вольтметр показывал значение меньше, чем погрешность прибора, нужно, чтобы
$\frac{ \sqrt{5} + 1}{2} \left ( \frac{ \sqrt{5} - 1}{ \sqrt{5} + 1 } \right )^{ \frac{k}{2} } < 0,01$.
Отсюда получаем $k = 12$.
Следовательно, всего 12 приборов показывают напряжения большие, чем их погрешность.
