Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13371
2020-02-20 
Катушка индуктивностью $L = 10 Гн$ соединена последовательно с конденсатором емкостью $C = 0,1 мкФ$, и цепь подключают к батарейке. Через какое время напряжение на конденсаторе установится с точностью не хуже 1%? Элементы цепи считать идеальными, сопротивление соединяющих проводов $R = 1 Ом$.
Решение:
Установившееся значение напряжения на конденсаторе будет равно ЭДС батарейки. Если обозначить напряжение на конденсаторе $U$, а ЭДС батарейки $\mathcal{E}$, то, в зависимости от того, как был заряжен конденсатор до подключения к батарейке, равновесное значение может быть получено сразу или будет идти процесс постепенного приближения $U$ к $\mathcal{E}$. Предположим, что в момент подключения на пластинах конденсатора не было зарядов. Закон Ома для замкнутой цепи, описывающий процесс в этой электрической цепи после подключения к батарейке, будет выглядеть так:
$\mathcal{E} - L \frac{d^{2} (CU) }{dt^{2} } = R \frac{d(CU)}{dt} + U$.
Слева от знака равенства записана сумма всех ЭДС, действующих в замкнутом контуре, а справа - сумма падений напряжения на резисторе и конденсаторе. Разделим правую и левую части уравнения на $CL$ и введем новое обозначение: $V = U - \mathcal{E}$. Тогда уравнение запишется так:
$\frac{d^{2}V}{dt^{2} } + \frac{R}{L} \frac{dV}{dt} + \frac{V}{CL} = 0$.
Это уравнение затухающих колебаний. Система приходит к равновесию формально за бесконечно большое время. При этом напряжение на конденсаторе может либо колебаться с затуханием, постепенно приближаясь к равновесному положению, либо это приближение будет носить апериодический характер. Какой именно режим осуществится, зависит от соотношения между параметрами $R, C, L$. Для указанных в условии значений этих параметров реализуется режим колебаний с постепенным уменьшением амплитуды. При этом промежуток времени между последовательными прохождениями напряжения через значение $\mathcal{E}$ составляет примерно $2 \pi \cdot 10^{-3} с$. Начальная амплитуда колебаний равна $\mathcal{E}$. Амплитуда колебаний $A$ меняется со временем по закону
$A = \mathcal{E} e^{ - \frac{Rt}{2L} } = \mathcal{E} e^{ - \frac{t}{20c} }$.
В задаче нужно найти время $t$, за которое амплитуда колебаний станет меньше $\frac{ \mathcal{E}}{100}$. Отсюда получается уравнение для нахождения $t$:
$e^{ - \frac{t}{20c} } = \frac{1}{100}$, и $t = ln 100 \cdot 20 c \approx 92,1 c$.
Через $t = 92,1 с$ отличие напряжения на конденсаторе от ЭДС батарейки будет меньше 1%.
Катушка индуктивностью $L = 10 Гн$ соединена последовательно с конденсатором емкостью $C = 0,1 мкФ$, и цепь подключают к батарейке. Через какое время напряжение на конденсаторе установится с точностью не хуже 1%? Элементы цепи считать идеальными, сопротивление соединяющих проводов $R = 1 Ом$.
Решение:
Установившееся значение напряжения на конденсаторе будет равно ЭДС батарейки. Если обозначить напряжение на конденсаторе $U$, а ЭДС батарейки $\mathcal{E}$, то, в зависимости от того, как был заряжен конденсатор до подключения к батарейке, равновесное значение может быть получено сразу или будет идти процесс постепенного приближения $U$ к $\mathcal{E}$. Предположим, что в момент подключения на пластинах конденсатора не было зарядов. Закон Ома для замкнутой цепи, описывающий процесс в этой электрической цепи после подключения к батарейке, будет выглядеть так:
$\mathcal{E} - L \frac{d^{2} (CU) }{dt^{2} } = R \frac{d(CU)}{dt} + U$.
Слева от знака равенства записана сумма всех ЭДС, действующих в замкнутом контуре, а справа - сумма падений напряжения на резисторе и конденсаторе. Разделим правую и левую части уравнения на $CL$ и введем новое обозначение: $V = U - \mathcal{E}$. Тогда уравнение запишется так:
$\frac{d^{2}V}{dt^{2} } + \frac{R}{L} \frac{dV}{dt} + \frac{V}{CL} = 0$.
Это уравнение затухающих колебаний. Система приходит к равновесию формально за бесконечно большое время. При этом напряжение на конденсаторе может либо колебаться с затуханием, постепенно приближаясь к равновесному положению, либо это приближение будет носить апериодический характер. Какой именно режим осуществится, зависит от соотношения между параметрами $R, C, L$. Для указанных в условии значений этих параметров реализуется режим колебаний с постепенным уменьшением амплитуды. При этом промежуток времени между последовательными прохождениями напряжения через значение $\mathcal{E}$ составляет примерно $2 \pi \cdot 10^{-3} с$. Начальная амплитуда колебаний равна $\mathcal{E}$. Амплитуда колебаний $A$ меняется со временем по закону
$A = \mathcal{E} e^{ - \frac{Rt}{2L} } = \mathcal{E} e^{ - \frac{t}{20c} }$.
В задаче нужно найти время $t$, за которое амплитуда колебаний станет меньше $\frac{ \mathcal{E}}{100}$. Отсюда получается уравнение для нахождения $t$:
$e^{ - \frac{t}{20c} } = \frac{1}{100}$, и $t = ln 100 \cdot 20 c \approx 92,1 c$.
Через $t = 92,1 с$ отличие напряжения на конденсаторе от ЭДС батарейки будет меньше 1%.
