Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1337
2016-10-21 
Известно, что когда луч света падает на плоскую стеклянную пластинку перпендикулярно её поверхности, 8% световой энергии отражается, а 92% проходит. Иначе говоря, коэффициент отражения $R = 0,08$, коэффициент пропускания $T = 0,92$ (здесь уже учтено отражение от обеих поверхностей пластинки). Найдите коэффициент пропускания стопки из $n$ пластинок.
Решение:
Основная трудность, возникающая при решении этой задачи, связана с тем, что свет может многократно отражаться от поверхностей пластинок внутри стопки. Поэтому для того, чтобы найти ответ, нужно получить рекуррентную формулу, показывающую, как изменяется коэффициент пропускания стопки из $n$ пластинок при добавлении к ней ещё одной пластинки.
Пусть стопка из $n$ пластинок имеет коэффициент пропускания $T_{n}$. Добавим к ней ещё одну пластинку, получив, таким образом, «составную» стопку из $n + 1$ пластинки. Пусть на полученную стопку падает волна с интенсивностью $a$. Обозначим интенсивности волн, распространяющихся снаружи и внутри нашей «составной» стопки, так, как показано на рисунке. Учитывая, что $R_{n} = 1 — T_{n}$, получим систему уравнений:
$a_{2} = Ta_{1}$;
$b_{1} = (1 - T)a_{1}$;
$a_{1} = T_{n}a + (1 - T_{n})b_{1}$;
$b_{2} = (1 - T_{n})a + T_{n}b_{1}$.
Решая её, найдём:
$\frac{a}{a_{2}} = \frac{1}{T_{n+1}} = \frac{1}{T_{n}} + \frac{1-T}{T}$.
Это и есть искомая рекуррентная формула. Из неё можно получить явную зависимость коэффициента пропускания $T_{n}$ от числа пластинок $n$ в стопке. Действительно, если пластинок в стопке всего две $(n + 1 = 2)$, то
$\frac{1}{T_{2}} = \frac{1}{T} + \frac{1-T}{T}$.
Далее, при $n + 1 = 3$:
$\frac{1}{T_{3}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{1-T}{T} = \frac{1}{T} + 2 \frac{1-T}{T}$.
Продолжая аналогичные выкладки, для стопки из $n$ пластинок получим:
$\frac{1}{T_{n}} = \frac{1}{T} + (n-1) \frac{1-T}{T} = \frac{T+n(1-T)}{T}$,
откуда
$T_{n} = \frac{T}{T + n(1-T)} = \frac{T}{T+nR} = \frac{0,92}{0,92 + 0,08n}$.
Известно, что когда луч света падает на плоскую стеклянную пластинку перпендикулярно её поверхности, 8% световой энергии отражается, а 92% проходит. Иначе говоря, коэффициент отражения $R = 0,08$, коэффициент пропускания $T = 0,92$ (здесь уже учтено отражение от обеих поверхностей пластинки). Найдите коэффициент пропускания стопки из $n$ пластинок.
Решение:
Основная трудность, возникающая при решении этой задачи, связана с тем, что свет может многократно отражаться от поверхностей пластинок внутри стопки. Поэтому для того, чтобы найти ответ, нужно получить рекуррентную формулу, показывающую, как изменяется коэффициент пропускания стопки из $n$ пластинок при добавлении к ней ещё одной пластинки.
Пусть стопка из $n$ пластинок имеет коэффициент пропускания $T_{n}$. Добавим к ней ещё одну пластинку, получив, таким образом, «составную» стопку из $n + 1$ пластинки. Пусть на полученную стопку падает волна с интенсивностью $a$. Обозначим интенсивности волн, распространяющихся снаружи и внутри нашей «составной» стопки, так, как показано на рисунке. Учитывая, что $R_{n} = 1 — T_{n}$, получим систему уравнений:
$a_{2} = Ta_{1}$;
$b_{1} = (1 - T)a_{1}$;
$a_{1} = T_{n}a + (1 - T_{n})b_{1}$;
$b_{2} = (1 - T_{n})a + T_{n}b_{1}$.
Решая её, найдём:
$\frac{a}{a_{2}} = \frac{1}{T_{n+1}} = \frac{1}{T_{n}} + \frac{1-T}{T}$.
Это и есть искомая рекуррентная формула. Из неё можно получить явную зависимость коэффициента пропускания $T_{n}$ от числа пластинок $n$ в стопке. Действительно, если пластинок в стопке всего две $(n + 1 = 2)$, то
$\frac{1}{T_{2}} = \frac{1}{T} + \frac{1-T}{T}$.
Далее, при $n + 1 = 3$:
$\frac{1}{T_{3}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{1-T}{T} = \frac{1}{T} + 2 \frac{1-T}{T}$.
Продолжая аналогичные выкладки, для стопки из $n$ пластинок получим:
$\frac{1}{T_{n}} = \frac{1}{T} + (n-1) \frac{1-T}{T} = \frac{T+n(1-T)}{T}$,
откуда
$T_{n} = \frac{T}{T + n(1-T)} = \frac{T}{T+nR} = \frac{0,92}{0,92 + 0,08n}$.
