Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13369
2020-02-19 
Униполярным индуктор представляет собой быстро вращающийся постоянным магнит в форме диска. Диск выполнен из магнитного сплава, способного создавать сильное магнитное поле, и покрыт тонким проводящим слоем никеля. При вращении диска между осью вращения и боковой поверхностью возникает разность потенциалов, которую можно измерить с помощью неподвижного вольтметра (рис.). Если же к оси вращения и боковой поверхности подсоединить батарейку, то магнит начнет быстро вращаться, превратившись в электродвигатель. Точно так же, если быстро вращать вал обычного электромотора, он превращается в генератор, и наоборот, если на электрический генератор подать напряжение, он превращается в электромотор. На рисунке показана схема такого реально работающего униполярного электродвигателя, ротором которого является сильный постоянный магнит в форме диска радиусом $r_{0} = 2 см$, насаженного на ось. При подключении с помощью скользящих контактов батарейки с ЭДС $\mathcal{E} = 1,5 В$ диск начинает быстро вращаться.
1) Что покажет неподвижным вольтметр на рисунке при частоте вращения диска $\nu = 3000 об/мин$? Какова полярность этой разности потенциалов? Вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть сверху.
2) Пренебрегая трением, оцените предельную частоту вращения (об/мин) намагниченного диска (ротора униполярного двигателя на рисунке). Укажите направление вращения ротора (если смотреть сверху) при заданной полярности батарейки и заданном направлении вектора $\vec{B}$.
Примечание. Считайте, что в проводящем никелевом слое вектор индукции $\vec{B}$ магнитного поля перпендикулярен поверхности диска, постоянен и равен $B = 1 Тл$. Также для упрощения считайте, что ток в проводящем слое течет вдоль радиуса между осью и контактом.
Решение:
1) На свободные электроны в проводящем слое при вращении диска действует сила Лоренца, равная $F_{л} = evB$, где $e$ - заряд электрона, $v = \omega r = 2 \pi vr$ - линейная скорость. При указанных на рисунке направлениях магнитного поля и вращения диска сила Лоренца направлена к центру диска. В результате возникает перераспределение зарядов: электроны будут скапливаться в центре, а на боковой поверхности образуется нескомпенсированный положительный заряд. Это приведет к возникновению электрического поля $\vec{E}$, направленного по радиусу к центру. Равновесие наступит, когда в каждой точке проводящего слоя кулоновская сила скомпенсирует силу Лоренца:
$eE = evB$, т.е. $E = vB$.
Разность потенциалов $\Delta \phi$ между боковой поверхностью диска ($r = r_{0}$) и его центром ($r = 0$) равна
$\Delta \phi = \int_{0}^{r} Edr = \frac{1}{2} vBr_{0}$.
Эта разность потенциалов и будет измерена вольтметром:
$U = \Delta \phi = \frac{1}{2} vr_{0}B = \pi vr_{0}^{2}B = 62,8 мВ$,
причем "минус" - в центре диска, а "плюс" - на боковой поверхности.
2) Диск разгоняется моментом силы Ампера, возникающей в результате взаимодействия радиально направленного тока с магнитным полем диска. В соответствии с правилом левой руки, диск будет вращаться так же, как и на рисунке, - против часовой стрелки, если смотреть сверху. Разгон диска прекратится, когда сила тока станет равной нулю, т.е. когда разность потенциалов $\Delta \phi$, обусловленная действием силы Лоренца, станет равной ЭДС батарейки $\mathcal{E}$:
$\Delta \phi = \mathcal{E}$, или $\pi \nu_{пред} r_{0}^{2} B = \mathcal{E}$,
откуда
$\nu_{пред} = \frac{ \mathcal{E} }{ \pi r_{0}^{2} B } \approx 7,2 \cdot 10^{4} об/мин$
Униполярным индуктор представляет собой быстро вращающийся постоянным магнит в форме диска. Диск выполнен из магнитного сплава, способного создавать сильное магнитное поле, и покрыт тонким проводящим слоем никеля. При вращении диска между осью вращения и боковой поверхностью возникает разность потенциалов, которую можно измерить с помощью неподвижного вольтметра (рис.). Если же к оси вращения и боковой поверхности подсоединить батарейку, то магнит начнет быстро вращаться, превратившись в электродвигатель. Точно так же, если быстро вращать вал обычного электромотора, он превращается в генератор, и наоборот, если на электрический генератор подать напряжение, он превращается в электромотор. На рисунке показана схема такого реально работающего униполярного электродвигателя, ротором которого является сильный постоянный магнит в форме диска радиусом $r_{0} = 2 см$, насаженного на ось. При подключении с помощью скользящих контактов батарейки с ЭДС $\mathcal{E} = 1,5 В$ диск начинает быстро вращаться.
1) Что покажет неподвижным вольтметр на рисунке при частоте вращения диска $\nu = 3000 об/мин$? Какова полярность этой разности потенциалов? Вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть сверху.
2) Пренебрегая трением, оцените предельную частоту вращения (об/мин) намагниченного диска (ротора униполярного двигателя на рисунке). Укажите направление вращения ротора (если смотреть сверху) при заданной полярности батарейки и заданном направлении вектора $\vec{B}$.
Примечание. Считайте, что в проводящем никелевом слое вектор индукции $\vec{B}$ магнитного поля перпендикулярен поверхности диска, постоянен и равен $B = 1 Тл$. Также для упрощения считайте, что ток в проводящем слое течет вдоль радиуса между осью и контактом.
Решение:
1) На свободные электроны в проводящем слое при вращении диска действует сила Лоренца, равная $F_{л} = evB$, где $e$ - заряд электрона, $v = \omega r = 2 \pi vr$ - линейная скорость. При указанных на рисунке направлениях магнитного поля и вращения диска сила Лоренца направлена к центру диска. В результате возникает перераспределение зарядов: электроны будут скапливаться в центре, а на боковой поверхности образуется нескомпенсированный положительный заряд. Это приведет к возникновению электрического поля $\vec{E}$, направленного по радиусу к центру. Равновесие наступит, когда в каждой точке проводящего слоя кулоновская сила скомпенсирует силу Лоренца:
$eE = evB$, т.е. $E = vB$.
Разность потенциалов $\Delta \phi$ между боковой поверхностью диска ($r = r_{0}$) и его центром ($r = 0$) равна
$\Delta \phi = \int_{0}^{r} Edr = \frac{1}{2} vBr_{0}$.
Эта разность потенциалов и будет измерена вольтметром:
$U = \Delta \phi = \frac{1}{2} vr_{0}B = \pi vr_{0}^{2}B = 62,8 мВ$,
причем "минус" - в центре диска, а "плюс" - на боковой поверхности.
2) Диск разгоняется моментом силы Ампера, возникающей в результате взаимодействия радиально направленного тока с магнитным полем диска. В соответствии с правилом левой руки, диск будет вращаться так же, как и на рисунке, - против часовой стрелки, если смотреть сверху. Разгон диска прекратится, когда сила тока станет равной нулю, т.е. когда разность потенциалов $\Delta \phi$, обусловленная действием силы Лоренца, станет равной ЭДС батарейки $\mathcal{E}$:
$\Delta \phi = \mathcal{E}$, или $\pi \nu_{пред} r_{0}^{2} B = \mathcal{E}$,
откуда
$\nu_{пред} = \frac{ \mathcal{E} }{ \pi r_{0}^{2} B } \approx 7,2 \cdot 10^{4} об/мин$
