Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13366
2020-02-19 
Имеются 16 одинаковых батареек с ЭДС $\mathcal{E} = 1 В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 Ом$ каждая. Сопротивление нагрузки $R = 1 Ом$. Как нужно соединить батарейки, чтобы получить максимальный ток нагрузки? Найдите этот ток.
Решение:
Рассмотрим только случай соединения $N = m \times n$ источников в прямоугольник - $n$ параллельных групп из $m$ последовательно соединенных источников (либо $m$ последовательных групп из $n$ параллельно соединенных источников). Внутреннее сопротивление такой батареи равно $\frac{mr}{n} = \frac{m^{2}r}{N}$, а ЭДС равна $m \mathcal{E}$. Сила тока через нагрузку, равная
$I = \frac{m \mathcal{E} }{ \frac{m^{2}r }{N} + R } = \frac{ \mathcal{E} }{ \frac{mr}{N} + \frac{R}{m} }$,
максимальна, когда
$\frac{mr}{N} = \frac{R}{m}$, т.е. $m = \sqrt{N} \sqrt{ \frac{R}{r} }$
(минимум знаменателя в выражении для тока находится с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом). При $R = r$, как задано в условии задачи, максимальный ток получается при соединении источников в квадрат $m = n = \sqrt{N}$, ток при этом равен
$I = \frac{ \mathcal{E} \sqrt{N} }{2r} = 2 А$.
(Если же $R = 4r$, то $m = 2 \sqrt{N}, n = \frac{ \sqrt{N}}{2}$. Внутреннее сопротивление батареи опять равно сопротивлению нагрузки, а ток через каждый источник в обоих случаях равен $\frac{ \mathcal{E}}{2r}$.)
Дополнение к решению
Можно ли убедиться в том, что никакое другое соединение (не в форме прямоугольника) не может дать еще больший ток? Перебором заниматься не хочется - ведь можно потом вместо 16 источников взять 64 или 256. Оказывается, это можно строго доказать, выразив ток через нагрузку $R$ с помощью закона сохранения энергии (для общности рассмотрим $N$ разных источников)
$I^{2}R = ( \mathcal{E}_{1} I_{1} - I_{1}^{2}r_{1} ) + \cdots + ( \mathcal{E}_{N} I_{N} - I_{N}^{2}r_{N}) = \frac{ \mathcal{E}_{1}^{2} }{4r_{1} } - r_{1} \left ( I_{1} - \frac{ \mathcal{E}_{1} }{2r_{1} } \right )^{2} + \cdots + \frac{ \mathcal{E}_{N}^{2} }{4r_{N} } - r_{N} \left ( I_{1} - \frac{ \mathcal{E}_{N} }{2r_{N} } \right )^{2}$.
Видно, что максимальный ток через нагрузку будет достигнут, если удастся собрать схему так, чтобы
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1} }{2r_{1} }, \cdots , I_{N} = \frac{ \mathcal{E}_{N} }{2r_{N} }$.
При этом
$I_{max} = \sqrt{ \frac{ \mathcal{E}_{1}^{2} }{4Rr_{1} } + \cdots + \frac{ \mathcal{E}_{N}^{2} }{4Rr_{N} } }$.
Именно такие токи реализуются в предложенных выше прямоугольных схемах.
Имеются 16 одинаковых батареек с ЭДС $\mathcal{E} = 1 В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 Ом$ каждая. Сопротивление нагрузки $R = 1 Ом$. Как нужно соединить батарейки, чтобы получить максимальный ток нагрузки? Найдите этот ток.
Решение:
Рассмотрим только случай соединения $N = m \times n$ источников в прямоугольник - $n$ параллельных групп из $m$ последовательно соединенных источников (либо $m$ последовательных групп из $n$ параллельно соединенных источников). Внутреннее сопротивление такой батареи равно $\frac{mr}{n} = \frac{m^{2}r}{N}$, а ЭДС равна $m \mathcal{E}$. Сила тока через нагрузку, равная
$I = \frac{m \mathcal{E} }{ \frac{m^{2}r }{N} + R } = \frac{ \mathcal{E} }{ \frac{mr}{N} + \frac{R}{m} }$,
максимальна, когда
$\frac{mr}{N} = \frac{R}{m}$, т.е. $m = \sqrt{N} \sqrt{ \frac{R}{r} }$
(минимум знаменателя в выражении для тока находится с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом). При $R = r$, как задано в условии задачи, максимальный ток получается при соединении источников в квадрат $m = n = \sqrt{N}$, ток при этом равен
$I = \frac{ \mathcal{E} \sqrt{N} }{2r} = 2 А$.
(Если же $R = 4r$, то $m = 2 \sqrt{N}, n = \frac{ \sqrt{N}}{2}$. Внутреннее сопротивление батареи опять равно сопротивлению нагрузки, а ток через каждый источник в обоих случаях равен $\frac{ \mathcal{E}}{2r}$.)
Дополнение к решению
Можно ли убедиться в том, что никакое другое соединение (не в форме прямоугольника) не может дать еще больший ток? Перебором заниматься не хочется - ведь можно потом вместо 16 источников взять 64 или 256. Оказывается, это можно строго доказать, выразив ток через нагрузку $R$ с помощью закона сохранения энергии (для общности рассмотрим $N$ разных источников)
$I^{2}R = ( \mathcal{E}_{1} I_{1} - I_{1}^{2}r_{1} ) + \cdots + ( \mathcal{E}_{N} I_{N} - I_{N}^{2}r_{N}) = \frac{ \mathcal{E}_{1}^{2} }{4r_{1} } - r_{1} \left ( I_{1} - \frac{ \mathcal{E}_{1} }{2r_{1} } \right )^{2} + \cdots + \frac{ \mathcal{E}_{N}^{2} }{4r_{N} } - r_{N} \left ( I_{1} - \frac{ \mathcal{E}_{N} }{2r_{N} } \right )^{2}$.
Видно, что максимальный ток через нагрузку будет достигнут, если удастся собрать схему так, чтобы
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1} }{2r_{1} }, \cdots , I_{N} = \frac{ \mathcal{E}_{N} }{2r_{N} }$.
При этом
$I_{max} = \sqrt{ \frac{ \mathcal{E}_{1}^{2} }{4Rr_{1} } + \cdots + \frac{ \mathcal{E}_{N}^{2} }{4Rr_{N} } }$.
Именно такие токи реализуются в предложенных выше прямоугольных схемах.
