Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13363
2020-02-19 
В свободном пространстве на окружности радиусом $R_{0}$ в вершинах вписанного квадрата расположены четыре точечные массы $m$, две из них несут заряд $+q$, а две другие - заряд $-q$ (рис.). В начальный момент этим материальным точкам сообщают одинаковые по модулю скорости, направленные по касательным к окружности по часовой стрелке. Известно, что достигаемое в процессе движения минимальное расстояние от любой из точечных масс до центра О начальной окружности равно $R_{1}$ ( $R_{1} < R_{0}$ ). Считайте, что в любой момент времени заряды находятся в вершинах квадрата с центром в точке О. Действием гравитационных сил можно пренебречь. По какой траектории движется каждая из частиц? Определите время движения частицы из начального положения до положения с расстоянием $R_{1}$ до центра окружности.
Решение:
В силу симметрии, все материальные точки будут двигаться по одинаковым траекториям, оставаясь в каждый момент времени на окружности некоторого переменного радиуса $r$ в вершинах квадрата со стороной $a = \sqrt{2}r$. Рассмотрим одну из материальных точек (рис.). На нее со стороны остальных частиц действуют силы $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$. По закону Кулона модули этих сил равны
$F_{1} = F_{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{2r^{2} }$ и $F_{3} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{4r^{2} }$.
Результирующая сила всегда направлена к центру (точка О), а ее модуль равен
$F(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{q^{2} }{2r^{2} } \sqrt{2} - \frac{q^{2} }{4r^{2} } \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{r^{2} } \left ( \frac{2 \sqrt{2} - 1 }{4} \right )$.
Отсюда следует, что каждая из материальных точек движется так, как если бы из центра ее притягивал заряд, противоположный по знаку и по абсолютной величине равный
$Q = q \left ( \frac{2 \sqrt{2} - 1 }{4} \right )$.
Формула для $F(r)$ аналогична закону Кулона (или закону всемирного тяготения), так как $F(r) \sim \frac{1}{r^{2}}$. Поэтому траектории точек - эллипсы с большой осью $R_{0} + R_{1}$. Точка О находится в одном из фокусов этих эллипсов.
Теперь перейдем ко второму вопросу. Характерное время - это период $T$ обращения по эллиптической орбите. Его можно найти из третьего закона Кеплера. Найдем сначала период $T_{0}$ обращения точечной массы $m$, движущейся под действием силы $F(r)$ по круговой орбите радиусом $R_{0}$:
$T_{0} = \frac{2 \pi R_{0} }{v_{0} }, \frac{mv_{0}^{2} }{R_{0} } = F(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{r^{2} } \left ( \frac{2 \sqrt{2} - 1 }{4} \right )$,
откуда
$T_{0} = \frac{2 \pi}{q} \sqrt{ 4 \pi \epsilon_{0} \frac{4mR_{0}^{3} }{2 \sqrt{2} - 1 } }$.
По третьему закону Кеплера,
$\left( \frac{T}{T_{0} } \right )^{2} = \left ( \frac{R_{0} + R_{1} }{2R_{0} } \right )^{3}$, и $T = T_{0} \left ( \frac{R_{0} + R_{1} }{2R_{0} } \right )^{3/2}$.
Подставляя в эту формулу выражение для $T_{0}$ и учитывая, что из начального положения до положения с расстоянием $R_{1}$ до центра окружности частица движется время $\tau = \frac{T}{2}$, находим
$\tau = \frac{ \pi}{q} \sqrt{ 2 \pi \epsilon_{0} \frac{m(R_{0} + R_{1} )^{3} }{2 \sqrt{2} - 1 }}$.
В свободном пространстве на окружности радиусом $R_{0}$ в вершинах вписанного квадрата расположены четыре точечные массы $m$, две из них несут заряд $+q$, а две другие - заряд $-q$ (рис.). В начальный момент этим материальным точкам сообщают одинаковые по модулю скорости, направленные по касательным к окружности по часовой стрелке. Известно, что достигаемое в процессе движения минимальное расстояние от любой из точечных масс до центра О начальной окружности равно $R_{1}$ ( $R_{1} < R_{0}$ ). Считайте, что в любой момент времени заряды находятся в вершинах квадрата с центром в точке О. Действием гравитационных сил можно пренебречь. По какой траектории движется каждая из частиц? Определите время движения частицы из начального положения до положения с расстоянием $R_{1}$ до центра окружности.
Решение:
В силу симметрии, все материальные точки будут двигаться по одинаковым траекториям, оставаясь в каждый момент времени на окружности некоторого переменного радиуса $r$ в вершинах квадрата со стороной $a = \sqrt{2}r$. Рассмотрим одну из материальных точек (рис.). На нее со стороны остальных частиц действуют силы $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$. По закону Кулона модули этих сил равны
$F_{1} = F_{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{2r^{2} }$ и $F_{3} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{4r^{2} }$.
Результирующая сила всегда направлена к центру (точка О), а ее модуль равен
$F(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{q^{2} }{2r^{2} } \sqrt{2} - \frac{q^{2} }{4r^{2} } \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{r^{2} } \left ( \frac{2 \sqrt{2} - 1 }{4} \right )$.
Отсюда следует, что каждая из материальных точек движется так, как если бы из центра ее притягивал заряд, противоположный по знаку и по абсолютной величине равный
$Q = q \left ( \frac{2 \sqrt{2} - 1 }{4} \right )$.
Формула для $F(r)$ аналогична закону Кулона (или закону всемирного тяготения), так как $F(r) \sim \frac{1}{r^{2}}$. Поэтому траектории точек - эллипсы с большой осью $R_{0} + R_{1}$. Точка О находится в одном из фокусов этих эллипсов.
Теперь перейдем ко второму вопросу. Характерное время - это период $T$ обращения по эллиптической орбите. Его можно найти из третьего закона Кеплера. Найдем сначала период $T_{0}$ обращения точечной массы $m$, движущейся под действием силы $F(r)$ по круговой орбите радиусом $R_{0}$:
$T_{0} = \frac{2 \pi R_{0} }{v_{0} }, \frac{mv_{0}^{2} }{R_{0} } = F(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{r^{2} } \left ( \frac{2 \sqrt{2} - 1 }{4} \right )$,
откуда
$T_{0} = \frac{2 \pi}{q} \sqrt{ 4 \pi \epsilon_{0} \frac{4mR_{0}^{3} }{2 \sqrt{2} - 1 } }$.
По третьему закону Кеплера,
$\left( \frac{T}{T_{0} } \right )^{2} = \left ( \frac{R_{0} + R_{1} }{2R_{0} } \right )^{3}$, и $T = T_{0} \left ( \frac{R_{0} + R_{1} }{2R_{0} } \right )^{3/2}$.
Подставляя в эту формулу выражение для $T_{0}$ и учитывая, что из начального положения до положения с расстоянием $R_{1}$ до центра окружности частица движется время $\tau = \frac{T}{2}$, находим
$\tau = \frac{ \pi}{q} \sqrt{ 2 \pi \epsilon_{0} \frac{m(R_{0} + R_{1} )^{3} }{2 \sqrt{2} - 1 }}$.
