Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1336
2016-10-21 
На расстоянии $a = 20 см$ от тонкой собирающей линзы вдоль её главной оптической оси расположена тонкая короткая палочка. Длина её действительного изображения, даваемого линзой, в $k = 9$ раз больше длины палочки. Во сколько раз изменится длина изображения, если сдвинуть палочку вдоль оси на $\Delta = 5 см$ дальше от линзы? Примечание: при $|x| \ll 1$ справедлива формула $1/(1 + x) \approx 1-x$.
Решение:
Пусть фокусное расстояние линзы $F$, длина палочки $l$, длина её изображения $L$, причём $l \ll a, L \ll b$ где $b$ — расстояние от изображения палочки до линзы. Тогда в соответствии с формулой тонкой линзы, для положений одного из концов палочки и его изображения имеем:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$. (1)
Если второй конец палочки находится ближе к линзе, то можно записать:
$\frac{1}{a-l} + \frac{1}{b+L} = \frac{1}{L}$, или $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 - (l/a)} + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{1 + (L/b)} = \frac{1}{F}$.
Поскольку $1/(1 + x) \approx 1 - x$ при $x \ll 1$, то последнее соотношение можно переписать в виде:
$\frac{1}{a} \left ( 1 + \frac{l}{a} \right ) + \frac{1}{b} \left ( 1 - \frac{L}{b} \right ) \approx \frac{1}{F}$. (2)
Вычитая из (2) соотношение (1), получаем: $\frac{l}{a^{2}} — \frac{L}{b^{2}} \approx 0$, откуда продольное увеличение линзы $k = \frac{L}{l} = \left ( \frac{b}{a} \right )^{2}$, и $b = \sqrt{k}a$. Подставляя это выражение для Ъ в соотношение (1), получаем
$F = \frac{ \sqrt{k} a}{ \sqrt{k} + 1}$.
При новых расстояниях от палочки до линзы $a_{1}= a + \Delta a$, от изображения до линзы $b_{1} = \frac{a_{1}F}{a_{1}-F}$ и новой длине изображения $L_{1}$ для нового коэффициента увеличения имеем:
$k_{1} = \frac{L_{1}}{l} = \left ( \frac{b_{1}}{a_{1}} \right )^{2} = \left ( \frac{F}{a_{1}-F} \right )^{2} = \left ( \frac{ \frac{ \sqrt{k} a}{ \sqrt{k} + 1} }{ a + \Delta a - \frac{ \sqrt{k} a}{ \sqrt{k} + 1} } \right )^{2} = \left ( \frac{ \sqrt{k} a}{(a + \Delta a)( \sqrt{k} + 1) - \sqrt{k} a} \right )^{2}$.
Отсюда искомое отношение длин изображений палочки равно
$n = \frac{L_{1}}{L} = \frac{k_{1}}{k} = \left ( \frac{a}{(a + \Delta a)( \sqrt{k} + 1) - \sqrt{k} a} \right )^{2} = \frac{1}{ \left ( \left ( 1 + \frac{ \Delta a}{a} \right ) ( \sqrt{k} + 1) - \sqrt{k} \right )^{2} } = \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \Delta a}{a} ( \sqrt{k} + 1) \right )^{2} } = \frac{1}{4}$,
то есть длина изображения уменьшится в 4 раза.
На расстоянии $a = 20 см$ от тонкой собирающей линзы вдоль её главной оптической оси расположена тонкая короткая палочка. Длина её действительного изображения, даваемого линзой, в $k = 9$ раз больше длины палочки. Во сколько раз изменится длина изображения, если сдвинуть палочку вдоль оси на $\Delta = 5 см$ дальше от линзы? Примечание: при $|x| \ll 1$ справедлива формула $1/(1 + x) \approx 1-x$.
Решение:
Пусть фокусное расстояние линзы $F$, длина палочки $l$, длина её изображения $L$, причём $l \ll a, L \ll b$ где $b$ — расстояние от изображения палочки до линзы. Тогда в соответствии с формулой тонкой линзы, для положений одного из концов палочки и его изображения имеем:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$. (1)
Если второй конец палочки находится ближе к линзе, то можно записать:
$\frac{1}{a-l} + \frac{1}{b+L} = \frac{1}{L}$, или $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 - (l/a)} + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{1 + (L/b)} = \frac{1}{F}$.
Поскольку $1/(1 + x) \approx 1 - x$ при $x \ll 1$, то последнее соотношение можно переписать в виде:
$\frac{1}{a} \left ( 1 + \frac{l}{a} \right ) + \frac{1}{b} \left ( 1 - \frac{L}{b} \right ) \approx \frac{1}{F}$. (2)
Вычитая из (2) соотношение (1), получаем: $\frac{l}{a^{2}} — \frac{L}{b^{2}} \approx 0$, откуда продольное увеличение линзы $k = \frac{L}{l} = \left ( \frac{b}{a} \right )^{2}$, и $b = \sqrt{k}a$. Подставляя это выражение для Ъ в соотношение (1), получаем
$F = \frac{ \sqrt{k} a}{ \sqrt{k} + 1}$.
При новых расстояниях от палочки до линзы $a_{1}= a + \Delta a$, от изображения до линзы $b_{1} = \frac{a_{1}F}{a_{1}-F}$ и новой длине изображения $L_{1}$ для нового коэффициента увеличения имеем:
$k_{1} = \frac{L_{1}}{l} = \left ( \frac{b_{1}}{a_{1}} \right )^{2} = \left ( \frac{F}{a_{1}-F} \right )^{2} = \left ( \frac{ \frac{ \sqrt{k} a}{ \sqrt{k} + 1} }{ a + \Delta a - \frac{ \sqrt{k} a}{ \sqrt{k} + 1} } \right )^{2} = \left ( \frac{ \sqrt{k} a}{(a + \Delta a)( \sqrt{k} + 1) - \sqrt{k} a} \right )^{2}$.
Отсюда искомое отношение длин изображений палочки равно
$n = \frac{L_{1}}{L} = \frac{k_{1}}{k} = \left ( \frac{a}{(a + \Delta a)( \sqrt{k} + 1) - \sqrt{k} a} \right )^{2} = \frac{1}{ \left ( \left ( 1 + \frac{ \Delta a}{a} \right ) ( \sqrt{k} + 1) - \sqrt{k} \right )^{2} } = \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \Delta a}{a} ( \sqrt{k} + 1) \right )^{2} } = \frac{1}{4}$,
то есть длина изображения уменьшится в 4 раза.
