Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13355
2020-02-19 
Нагреватель идеальной тепловой машины имеет начальную температуру $2T$, его теплоемкость $C$, температура холодильника в начальный момент $T$, его теплоемкость вдвое больше. Теплообмена с окружающей средой нет, машина имеет маленькую мощность даже при начальной разности температур. Найдите температуры тел через очень большое время. Какую работу может совершить машина за это очень большое время?
Решение:
Обычно, когда рассматривают принципы работы тепловой машины, считают, что температуры нагревателя и холодильника в процессе отдачи или получения тепла не изменяются. Это означает, что теплоемкости нагревателя и холодильника являются бесконечно большими. Если же теплоемкости этих тел конечны, необходимо учитывать, что их температуры в процессе работы машины будут изменяться. Очевидно, что, в конце концов, температуры нагревателя и холодильника сравняются. Действительно, в процессе работы машины рабочее тело берет некоторое количество теплоты у нагревателя, часть его превращает в работу, оставшуюся часть передает холодильнику. Другими словами, происходит теплообмен между горячим нагревателем и холодным холодильником с одновременным "уходом" части энергии из этой системы в виде механической работы. Учтем этот "уход" в уравнениях теплового баланса.
Пусть в какой-то момент времени температуры нагревателя и холодильника равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. По условию на этих телах работает идеальная тепловая машина. А поскольку в идеальной тепловой машине, работающей по циклу Карно, передачи тепла от нагревателя к рабочему телу и от рабочего тела к холодильнику должны осуществляться при фиксированных температурах, необходимо проводить много циклов Карно с бесконечно малыми передачами тепла так, чтобы в каждом цикле температуры нагревателя и холодильника можно было считать неизменными.
Итак, возьмем количество теплоты $\delta Q_{1}$ у нагревателя. Поскольку КПД цикла Карно равен $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1} }$, работа двигателя составит
$\delta A = \eta \delta Q_{1} = \delta Q_{1} - \frac{T_{2} }{T_{1} } \delta Q_{1}$.
а более холодному телу будет передано количество теплоты
$\delta Q_{2} = \delta Q_{1} - \delta A = \frac{T_{2} }{T_{1} } \delta Q_{1}$.
Найдем теперь, как изменятся температуры тел после осуществления рассмотренного процесса. Так как нагреватель отдает количество теплоты $\delta Q_{1}$, его температура уменьшится на величину
$\Delta T_{1} = - \frac{ \delta Q_{1}}{C}$.
Аналогично, температура холодильника возрастет на величину
$\Delta T_{2} = \frac{ \delta Q_{2} }{2C } = \frac{ \delta Q_{1} }{2C} \frac{T_{2} }{T_{1} }$.
Отсюда получаем
$\frac{ \Delta T_{1}}{ \Delta T_{2}} = - 2 \frac{T_{1} }{T_{2} }$, или $\frac{ \Delta T_{1} }{T_{1} } = - 2 \frac{ \Delta T_{2} }{T_{2} }$.
Это означает, что в рассмотренном процессе не меняется произведение температуры нагревателя на квадрат температуры холодильника. Причем этот результат будет иметь место и для начальных ($2T$ и $T$) и для конечных ($T_{x}$ ) температур нагревателя и холодильника:
$2T (T)^{2} = T_{x} ( T_{x} )^{2}$, откуда $T_{x} = \sqrt[3]{2} T = 1,26T$.
Таким образом, в результате работы рассмотренной тепловой машины в течение длительного времени температуры нагревателя и холодильника сравняются и станут равными $T_{x} = 1,26T$.
Если бы энергия не уходила из системы, т.е. если бы тепловая машина не совершала механическую работу, то в результате теплообмена между нагревателем и холодильником их температуры также сравнялись бы, но установившаяся температура $T_{y}$ была бы другой. Ее можно найти из "обычного" уравнения теплового баланса - количество теплоты, отданное нагревателем, равно количеству теплоты, полученному холодильником:
$C(2T - T_{y} ) = 2C(T_{y} - T)$, откуда $T_{y} = \frac{4}{3}T = 1,3T$.
Энергия, связанная с разностью установившихся температур $T_{y} - T_{x}$, и есть полная механическая работа, совершенная двигателем до того момента, как температуры нагревателя и холодильника сравняются и двигатель больше не сможет совершать работу. Поскольку суммарная теплоемкость тел равна $3C$, то эта работа
$A = 3C(T_{y} - T_{x}) = 3C \cdot 0,07T = 0,21CT$.
Нагреватель идеальной тепловой машины имеет начальную температуру $2T$, его теплоемкость $C$, температура холодильника в начальный момент $T$, его теплоемкость вдвое больше. Теплообмена с окружающей средой нет, машина имеет маленькую мощность даже при начальной разности температур. Найдите температуры тел через очень большое время. Какую работу может совершить машина за это очень большое время?
Решение:
Обычно, когда рассматривают принципы работы тепловой машины, считают, что температуры нагревателя и холодильника в процессе отдачи или получения тепла не изменяются. Это означает, что теплоемкости нагревателя и холодильника являются бесконечно большими. Если же теплоемкости этих тел конечны, необходимо учитывать, что их температуры в процессе работы машины будут изменяться. Очевидно, что, в конце концов, температуры нагревателя и холодильника сравняются. Действительно, в процессе работы машины рабочее тело берет некоторое количество теплоты у нагревателя, часть его превращает в работу, оставшуюся часть передает холодильнику. Другими словами, происходит теплообмен между горячим нагревателем и холодным холодильником с одновременным "уходом" части энергии из этой системы в виде механической работы. Учтем этот "уход" в уравнениях теплового баланса.
Пусть в какой-то момент времени температуры нагревателя и холодильника равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. По условию на этих телах работает идеальная тепловая машина. А поскольку в идеальной тепловой машине, работающей по циклу Карно, передачи тепла от нагревателя к рабочему телу и от рабочего тела к холодильнику должны осуществляться при фиксированных температурах, необходимо проводить много циклов Карно с бесконечно малыми передачами тепла так, чтобы в каждом цикле температуры нагревателя и холодильника можно было считать неизменными.
Итак, возьмем количество теплоты $\delta Q_{1}$ у нагревателя. Поскольку КПД цикла Карно равен $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1} }$, работа двигателя составит
$\delta A = \eta \delta Q_{1} = \delta Q_{1} - \frac{T_{2} }{T_{1} } \delta Q_{1}$.
а более холодному телу будет передано количество теплоты
$\delta Q_{2} = \delta Q_{1} - \delta A = \frac{T_{2} }{T_{1} } \delta Q_{1}$.
Найдем теперь, как изменятся температуры тел после осуществления рассмотренного процесса. Так как нагреватель отдает количество теплоты $\delta Q_{1}$, его температура уменьшится на величину
$\Delta T_{1} = - \frac{ \delta Q_{1}}{C}$.
Аналогично, температура холодильника возрастет на величину
$\Delta T_{2} = \frac{ \delta Q_{2} }{2C } = \frac{ \delta Q_{1} }{2C} \frac{T_{2} }{T_{1} }$.
Отсюда получаем
$\frac{ \Delta T_{1}}{ \Delta T_{2}} = - 2 \frac{T_{1} }{T_{2} }$, или $\frac{ \Delta T_{1} }{T_{1} } = - 2 \frac{ \Delta T_{2} }{T_{2} }$.
Это означает, что в рассмотренном процессе не меняется произведение температуры нагревателя на квадрат температуры холодильника. Причем этот результат будет иметь место и для начальных ($2T$ и $T$) и для конечных ($T_{x}$ ) температур нагревателя и холодильника:
$2T (T)^{2} = T_{x} ( T_{x} )^{2}$, откуда $T_{x} = \sqrt[3]{2} T = 1,26T$.
Таким образом, в результате работы рассмотренной тепловой машины в течение длительного времени температуры нагревателя и холодильника сравняются и станут равными $T_{x} = 1,26T$.
Если бы энергия не уходила из системы, т.е. если бы тепловая машина не совершала механическую работу, то в результате теплообмена между нагревателем и холодильником их температуры также сравнялись бы, но установившаяся температура $T_{y}$ была бы другой. Ее можно найти из "обычного" уравнения теплового баланса - количество теплоты, отданное нагревателем, равно количеству теплоты, полученному холодильником:
$C(2T - T_{y} ) = 2C(T_{y} - T)$, откуда $T_{y} = \frac{4}{3}T = 1,3T$.
Энергия, связанная с разностью установившихся температур $T_{y} - T_{x}$, и есть полная механическая работа, совершенная двигателем до того момента, как температуры нагревателя и холодильника сравняются и двигатель больше не сможет совершать работу. Поскольку суммарная теплоемкость тел равна $3C$, то эта работа
$A = 3C(T_{y} - T_{x}) = 3C \cdot 0,07T = 0,21CT$.
