Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13352
2020-02-19 
Очень большое количество одинаковых тонких собирающих линз с фокусным расстоянием $F$ расположены на одинаковых расстояниях $l$ друг от друга так, что главные оптические оси всех линз совпадают. Расстояние $l$ много меньше фокусного расстояния $F$. На первую линзу перпендикулярно ее плоскости падает луч света (рис.). Постройте ход этого луча. Найдите расстояние между точками, в которых луч в третий и в четвертый раз пересекает главную оптическую ось.
Решение:
Так как линзы собирающие, каждая будет "прижимать" луч к главной оптической оси. Причем, поскольку фокусное расстояние линз много больше расстояния между ними, а луч после прохождения линзы пересек бы главную оптическую ось на таком расстоянии от линзы, которое сравнимо с ее фокусным расстоянием, между каждой парой линз луч будет смещаться очень незначительно. Поэтому после прохождения первой линзы луч чуть-чуть "повернет" к главной оптической оси, после прохождения второй - еще чуть-чуть, затем еще и в какой-то точке, пройдя большое количество линз, пересечет главную оптическую ось, повернув при этом на значительный угол за счет преломлений в большом количестве линз. После этого луч будет снова "поворачивать" к главной оптической оси и на каком-то расстоянии от точки пересечения станет параллельным главной оптической оси. Дальнейший ход луча будет повторять описанный выше.
Для иллюстрации этого вывода на рисунке построен ход трех лучей, падающих на рассматриваемую систему линз. Лучи построены с помощью расчетов для случая, когда расстояние между линзами равно одной трети фокусного расстояния линз. Из этого рисунка видно, что, с одной стороны, лучи 1 и 3 представляют собой ломаные линии (ведь между линзами лучи прямые), но с другой стороны, уж очень они похожи на графики тригонометрических функций! Поэтому возникает следующая идея. Будем считать, что луч описывается "почти" плавной кривой, и попробуем получить ее уравнение.
Введем систему координат с началом в центре первой линзы, ось $X$ направим вдоль главной оптической оси, ось $Y$ перпендикулярно ей и в пределе $l \rightarrow 0$ найдем связь между координатами $y$ и $x$ для точек луча, т.е. получим уравнение $y(x)$, описывающее луч. Для этого рассмотрим прохождение луча через одну линзу, находящуюся на некотором расстоянии x от начала координат (рис.). Пусть луч AB падает на линзу под углом $\alpha$ к главной оптической оси в точке B, имеющей вертикальную координату $y$ (отрезок BM параллелен главной оптической оси линзы). Построим продолжение этого луча после прохождения линзы и найдем угол в между ним и главной оптической осью. Для построения проведем через центр линзы вспомогательный луч CO, параллельный падающему. Из прямоугольного треугольника BMN имеем
$tg \beta = \frac{MN}{F} = \frac{y}{F} + \frac{F tg \alpha}{F} = tg \alpha + \frac{y}{F}$.
Тангенс угла наклона луча к оси $X$ равен производной искомой функции $y(x)$ со знаком "минус" (углы $\alpha$ и $\beta$ отсчитаны по часовой стрелке от оси $X$), поэтому предыдущее равенство можно переписать в виде
$y^{ \prime}(после \: линзы) - y^{ \prime} (до \: линзы) = - \frac{y(x)}{F}$.
Поделим правую и левую части этого уравнения на расстояние $l$ между линзами. Поскольку это расстояние мало, левая часть нового уравнения будет приближенно равна второй производной искомой функции в точке, где находится линза, т.е. $y^{ \prime \prime}(x)$. Тогда получим
$y^{ \prime \prime}(x) = - \frac{1}{lF} y(x)$.
Из этой формулы следует, что функция $y(x)$, определяющая ход луча в рассматриваемой системе линз, такова, что ее вторая производная в некоторой точке пропорциональна самой функции в этой точке. Уравнения, которые связывают неизвестную функцию и ее производные, являются дифференциальными уравнениями. В школьном курсе физики рассматривается дифференциальное уравнение гармонических колебаний, которые связывает координату колеблющегося тела $x$ со временем $t$:
$x^{ \prime \prime}(t) = - \omega^{2} x(t)$,
где $\omega^{2}$ - некоторое число, и доказывается, что функция $x(t)$ представляет собой комбинацию синуса и косинуса от аргумента $\omega t$, т.е. является периодической функцией времени с периодом $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$.
Поскольку наше уравнение для функции $y(x)$ совпадает по форме с уравнением гармонических колебаний, причем $\omega^{2} = \frac{1}{lF}$, то искомая функция $y(x)$, определяющая ход светового луча, также представляет собой комбинацию тригонометрических функций координаты $x$ с периодом $L = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{lF}$. Здесь период $L$ имеет смысл длины, на которой световой луч дважды пересекает ось $X$. Поэтому расстояние между ближайшими точками пересечения лучом главной оптической оси, и в частности между третьим и четвертым пересечениями, равно половине этого периода, т.е. $\pi \sqrt{lF}$.
Очень большое количество одинаковых тонких собирающих линз с фокусным расстоянием $F$ расположены на одинаковых расстояниях $l$ друг от друга так, что главные оптические оси всех линз совпадают. Расстояние $l$ много меньше фокусного расстояния $F$. На первую линзу перпендикулярно ее плоскости падает луч света (рис.). Постройте ход этого луча. Найдите расстояние между точками, в которых луч в третий и в четвертый раз пересекает главную оптическую ось.
Решение:
Так как линзы собирающие, каждая будет "прижимать" луч к главной оптической оси. Причем, поскольку фокусное расстояние линз много больше расстояния между ними, а луч после прохождения линзы пересек бы главную оптическую ось на таком расстоянии от линзы, которое сравнимо с ее фокусным расстоянием, между каждой парой линз луч будет смещаться очень незначительно. Поэтому после прохождения первой линзы луч чуть-чуть "повернет" к главной оптической оси, после прохождения второй - еще чуть-чуть, затем еще и в какой-то точке, пройдя большое количество линз, пересечет главную оптическую ось, повернув при этом на значительный угол за счет преломлений в большом количестве линз. После этого луч будет снова "поворачивать" к главной оптической оси и на каком-то расстоянии от точки пересечения станет параллельным главной оптической оси. Дальнейший ход луча будет повторять описанный выше.
Для иллюстрации этого вывода на рисунке построен ход трех лучей, падающих на рассматриваемую систему линз. Лучи построены с помощью расчетов для случая, когда расстояние между линзами равно одной трети фокусного расстояния линз. Из этого рисунка видно, что, с одной стороны, лучи 1 и 3 представляют собой ломаные линии (ведь между линзами лучи прямые), но с другой стороны, уж очень они похожи на графики тригонометрических функций! Поэтому возникает следующая идея. Будем считать, что луч описывается "почти" плавной кривой, и попробуем получить ее уравнение.
Введем систему координат с началом в центре первой линзы, ось $X$ направим вдоль главной оптической оси, ось $Y$ перпендикулярно ей и в пределе $l \rightarrow 0$ найдем связь между координатами $y$ и $x$ для точек луча, т.е. получим уравнение $y(x)$, описывающее луч. Для этого рассмотрим прохождение луча через одну линзу, находящуюся на некотором расстоянии x от начала координат (рис.). Пусть луч AB падает на линзу под углом $\alpha$ к главной оптической оси в точке B, имеющей вертикальную координату $y$ (отрезок BM параллелен главной оптической оси линзы). Построим продолжение этого луча после прохождения линзы и найдем угол в между ним и главной оптической осью. Для построения проведем через центр линзы вспомогательный луч CO, параллельный падающему. Из прямоугольного треугольника BMN имеем
$tg \beta = \frac{MN}{F} = \frac{y}{F} + \frac{F tg \alpha}{F} = tg \alpha + \frac{y}{F}$.
Тангенс угла наклона луча к оси $X$ равен производной искомой функции $y(x)$ со знаком "минус" (углы $\alpha$ и $\beta$ отсчитаны по часовой стрелке от оси $X$), поэтому предыдущее равенство можно переписать в виде
$y^{ \prime}(после \: линзы) - y^{ \prime} (до \: линзы) = - \frac{y(x)}{F}$.
Поделим правую и левую части этого уравнения на расстояние $l$ между линзами. Поскольку это расстояние мало, левая часть нового уравнения будет приближенно равна второй производной искомой функции в точке, где находится линза, т.е. $y^{ \prime \prime}(x)$. Тогда получим
$y^{ \prime \prime}(x) = - \frac{1}{lF} y(x)$.
Из этой формулы следует, что функция $y(x)$, определяющая ход луча в рассматриваемой системе линз, такова, что ее вторая производная в некоторой точке пропорциональна самой функции в этой точке. Уравнения, которые связывают неизвестную функцию и ее производные, являются дифференциальными уравнениями. В школьном курсе физики рассматривается дифференциальное уравнение гармонических колебаний, которые связывает координату колеблющегося тела $x$ со временем $t$:
$x^{ \prime \prime}(t) = - \omega^{2} x(t)$,
где $\omega^{2}$ - некоторое число, и доказывается, что функция $x(t)$ представляет собой комбинацию синуса и косинуса от аргумента $\omega t$, т.е. является периодической функцией времени с периодом $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$.
Поскольку наше уравнение для функции $y(x)$ совпадает по форме с уравнением гармонических колебаний, причем $\omega^{2} = \frac{1}{lF}$, то искомая функция $y(x)$, определяющая ход светового луча, также представляет собой комбинацию тригонометрических функций координаты $x$ с периодом $L = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{lF}$. Здесь период $L$ имеет смысл длины, на которой световой луч дважды пересекает ось $X$. Поэтому расстояние между ближайшими точками пересечения лучом главной оптической оси, и в частности между третьим и четвертым пересечениями, равно половине этого периода, т.е. $\pi \sqrt{lF}$.
