Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13345
2020-02-19 
В однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ влетает со скоростью $\vec{v}$ частица массой $m$ и зарядом $q$. Магнитное поле локализовано внутри области радиусом $R_{0}$, скорость $\vec{v}$ направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции, прицельный параметр удара $p$ (рис.). Найдите угол рассеяния $\theta$, т.е. угол, на который частица отклоняется от первоначального направления после прохождения магнитного поля.
Решение:
В однородном магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца $\vec{F}_{л}$. Эта сила постоянна по модулю: $F_{л} = qvB$, всегда направлена перпендикулярно скорости движения частицы и сообщает частице центростремительное ускорение $\frac{v^{2} }{R}$. Закон движения частицы но окружности можно записать в виде
$\frac{v^{2}}{R} = \frac{qvB}{m}$,
что позволяет найти радиус искомой окружности:
$R = \frac{mv}{qB}$.
Итак, при входе в магнитное поле частица начинает двигаться по окружности радиусом $R$. Требуется найти угол $\theta$ по заданным величинам $R, R_{0}, p$. Видим (рис.), что частица движется по дуге окружности, центр А которой находится на прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной первоначальному направлению движения частицы. При этом траектория движения частицы симметрична относительно прямой АО, проходящей через центры обеих окружностей. Более точно - по линии АО проходит плоскость симметрии, т.е. правая (от АО) половина нашего чертежа является зеркальным отражением левой. Отсюда следует, что угол ОАМ равен углу OAD - на рисунке эти углы обозначены $\alpha$. Искомый угол $\theta$ и угол $DAM = 2 \alpha$ равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Таким образом, $\theta = 2 \alpha$.
Найдем угол $\alpha$. Сначала из прямоугольного треугольника СМО находим величину отрезка ОС:
$OC = \sqrt{R_{0}^{2} - p^{2}}$,
затем из прямоугольного треугольника АСО находим угол $\alpha$:
$tg \alpha = \frac{OC}{AC} = \frac{ \sqrt{R_{0}^{2} - p^{2} } }{R - p}$, или $\alpha = arctg \frac{ \sqrt{R_{0}^{2} - p^{2} } }{R - p}$.
Окончательно получаем
$\theta = 2 arctg \frac{ \sqrt{ R_{0}^{2} - p^{2} } }{R - p}$, где $R = \frac{mv}{qB}$.
Заметим, что в физике задачи, рассматривающие столкновение движущегося тела (частицы) с мишенью и изменение направления движения тела после столкновения встречаются довольно часто. Самый известный пример - формула Резерфорда, связывающая угол рассеяния с параметром удара при кулоновском взаимодействии движущейся заряженной частицы с неподвижным заряженным ядром атома. В нашей задаче такой мишенью, с которой сталкивается заряженная частица, является локализованное магнитное поле. Подобные задачи имеются в астрофизике, когда рассматривается диффузия заряженных частиц в магнитных неоднородностях космической среды.
В однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ влетает со скоростью $\vec{v}$ частица массой $m$ и зарядом $q$. Магнитное поле локализовано внутри области радиусом $R_{0}$, скорость $\vec{v}$ направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции, прицельный параметр удара $p$ (рис.). Найдите угол рассеяния $\theta$, т.е. угол, на который частица отклоняется от первоначального направления после прохождения магнитного поля.
Решение:
В однородном магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца $\vec{F}_{л}$. Эта сила постоянна по модулю: $F_{л} = qvB$, всегда направлена перпендикулярно скорости движения частицы и сообщает частице центростремительное ускорение $\frac{v^{2} }{R}$. Закон движения частицы но окружности можно записать в виде
$\frac{v^{2}}{R} = \frac{qvB}{m}$,
что позволяет найти радиус искомой окружности:
$R = \frac{mv}{qB}$.
Итак, при входе в магнитное поле частица начинает двигаться по окружности радиусом $R$. Требуется найти угол $\theta$ по заданным величинам $R, R_{0}, p$. Видим (рис.), что частица движется по дуге окружности, центр А которой находится на прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной первоначальному направлению движения частицы. При этом траектория движения частицы симметрична относительно прямой АО, проходящей через центры обеих окружностей. Более точно - по линии АО проходит плоскость симметрии, т.е. правая (от АО) половина нашего чертежа является зеркальным отражением левой. Отсюда следует, что угол ОАМ равен углу OAD - на рисунке эти углы обозначены $\alpha$. Искомый угол $\theta$ и угол $DAM = 2 \alpha$ равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Таким образом, $\theta = 2 \alpha$.
Найдем угол $\alpha$. Сначала из прямоугольного треугольника СМО находим величину отрезка ОС:
$OC = \sqrt{R_{0}^{2} - p^{2}}$,
затем из прямоугольного треугольника АСО находим угол $\alpha$:
$tg \alpha = \frac{OC}{AC} = \frac{ \sqrt{R_{0}^{2} - p^{2} } }{R - p}$, или $\alpha = arctg \frac{ \sqrt{R_{0}^{2} - p^{2} } }{R - p}$.
Окончательно получаем
$\theta = 2 arctg \frac{ \sqrt{ R_{0}^{2} - p^{2} } }{R - p}$, где $R = \frac{mv}{qB}$.
Заметим, что в физике задачи, рассматривающие столкновение движущегося тела (частицы) с мишенью и изменение направления движения тела после столкновения встречаются довольно часто. Самый известный пример - формула Резерфорда, связывающая угол рассеяния с параметром удара при кулоновском взаимодействии движущейся заряженной частицы с неподвижным заряженным ядром атома. В нашей задаче такой мишенью, с которой сталкивается заряженная частица, является локализованное магнитное поле. Подобные задачи имеются в астрофизике, когда рассматривается диффузия заряженных частиц в магнитных неоднородностях космической среды.
