Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13339
2020-02-19 
Коаксиальный кабель состоит из центральной жилы диаметром $d = 1 мм$ и проводящей оплетки диаметра $D = 5 мм$. Пространство между жилой и оплеткой заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon = 3$. Найдите емкость и индуктивность в расчете на 1 м для такого кабеля, а также величину волнового сопротивления - при подключении резистора такой величины к концу куска кабеля не происходит отражения электромагнитной волны, бегущей вдоль него.
Решение:
Найдем емкость кабеля - точнее, куска длиной $l$ очень длинного кабеля. Зарядим центральную проводящую жилу и оплетку равными по величине и противоположными по знаку зарядами $q = \rho l$ и $-q$, где $\rho$ - линейная плотность заряда. Напряженность поля в диэлектрике на расстоянии $x$ от оси равна
$E(x) = \frac{ \rho}{2 \pi \epsilon_{0} \epsilon x }$.
Разность потенциалов равна
$\Delta \phi = \int_{d/2}^{D/2} E(x)dx = \frac{ \rho}{2 \pi \epsilon_{0} \epsilon } ln \frac{D}{d}$.
Емкость "на 1 м длины" составляет
$C = \frac{q}{ \Delta \phi } = \frac{ \rho l}{ \Delta \phi} = \frac{2 \pi \epsilon_{0} \epsilon l }{ ln \frac{D}{d} } = \frac{6,28 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \cdot 1}{1,61} Ф \approx 1 \cdot 10^{-10} Ф$.
Индуктивность "на 1 м длины" посчитаем немного иначе - найдем магнитную индукцию в зазоре, вычислим энергию магнитного поля и приравняем ее известному выражению $W = \frac{1}{2} LI^{2}$. Итак, пусть по проводящей жиле течет ток $I$, а по оплетке - такой же ток в противоположном направлении. Тогда магнитное поле снаружи будет нулевым, а в зазоре на расстоянии $x$ от оси (как поле бесконечного прямого провода) равным
$B(x) = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi x}$.
Возьмем тонкий цилиндрический слой - радиус его $x$, толщина $\Delta x$, длина $l$. Энергия магнитного поля в выделенном объеме равна
$\Delta W = \frac{B^{2} }{2 \mu_{0} } \Delta V = \frac{1}{2 \mu_{0} } \left ( \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi x} \right )^{2} (2 \pi x \Delta x l)$.
Запишем энергию во всем зазоре длиной $l$ в виде интеграла:
$W = \int_{d/2}^{D/2} \frac{ \mu_{0}I^{2}l }{4 \pi} \frac{dx}{x} = \frac{ \mu_{0}I^{2}l }{4 \pi } ln \frac{D}{d}$.
Тогда индуктивность "на 1 м длины" будет равна
$L = \frac{2W}{I^{2}} = \frac{ \mu_{0}l}{2 \pi} ln \frac{D}{d} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 1,61 }{2 \pi} Гн \approx 3,2 \cdot 10^{-7} Гн$.
Теперь можно представить кабель в виде бесконечной $LC$ - цепи (см. рисунок), состоящей из одинаковых звеньев - кусков по 1 м, - причем $L$ и $C$ мы уже вычислили. Волновое сопротивление такой цепи равно
$Z = \sqrt{ \frac{L}{C} } \approx 55 Ом$.
Получилось активное сопротивление - без реактивной составляющей. Кстати, если бы мы взяли куски другой длины (не слишком длинные!), то получили бы тот же ответ.
Описанный в задаче кабель почти такой же, как и обычный 50-омный кабель, используемый при передаче сигналов не слишком больших частот - единицы, десятки, даже сотни мегагерц.
Коаксиальный кабель состоит из центральной жилы диаметром $d = 1 мм$ и проводящей оплетки диаметра $D = 5 мм$. Пространство между жилой и оплеткой заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon = 3$. Найдите емкость и индуктивность в расчете на 1 м для такого кабеля, а также величину волнового сопротивления - при подключении резистора такой величины к концу куска кабеля не происходит отражения электромагнитной волны, бегущей вдоль него.
Решение:
Найдем емкость кабеля - точнее, куска длиной $l$ очень длинного кабеля. Зарядим центральную проводящую жилу и оплетку равными по величине и противоположными по знаку зарядами $q = \rho l$ и $-q$, где $\rho$ - линейная плотность заряда. Напряженность поля в диэлектрике на расстоянии $x$ от оси равна
$E(x) = \frac{ \rho}{2 \pi \epsilon_{0} \epsilon x }$.
Разность потенциалов равна
$\Delta \phi = \int_{d/2}^{D/2} E(x)dx = \frac{ \rho}{2 \pi \epsilon_{0} \epsilon } ln \frac{D}{d}$.
Емкость "на 1 м длины" составляет
$C = \frac{q}{ \Delta \phi } = \frac{ \rho l}{ \Delta \phi} = \frac{2 \pi \epsilon_{0} \epsilon l }{ ln \frac{D}{d} } = \frac{6,28 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \cdot 1}{1,61} Ф \approx 1 \cdot 10^{-10} Ф$.
Индуктивность "на 1 м длины" посчитаем немного иначе - найдем магнитную индукцию в зазоре, вычислим энергию магнитного поля и приравняем ее известному выражению $W = \frac{1}{2} LI^{2}$. Итак, пусть по проводящей жиле течет ток $I$, а по оплетке - такой же ток в противоположном направлении. Тогда магнитное поле снаружи будет нулевым, а в зазоре на расстоянии $x$ от оси (как поле бесконечного прямого провода) равным
$B(x) = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi x}$.
Возьмем тонкий цилиндрический слой - радиус его $x$, толщина $\Delta x$, длина $l$. Энергия магнитного поля в выделенном объеме равна
$\Delta W = \frac{B^{2} }{2 \mu_{0} } \Delta V = \frac{1}{2 \mu_{0} } \left ( \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi x} \right )^{2} (2 \pi x \Delta x l)$.
Запишем энергию во всем зазоре длиной $l$ в виде интеграла:
$W = \int_{d/2}^{D/2} \frac{ \mu_{0}I^{2}l }{4 \pi} \frac{dx}{x} = \frac{ \mu_{0}I^{2}l }{4 \pi } ln \frac{D}{d}$.
Тогда индуктивность "на 1 м длины" будет равна
$L = \frac{2W}{I^{2}} = \frac{ \mu_{0}l}{2 \pi} ln \frac{D}{d} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 1,61 }{2 \pi} Гн \approx 3,2 \cdot 10^{-7} Гн$.
Теперь можно представить кабель в виде бесконечной $LC$ - цепи (см. рисунок), состоящей из одинаковых звеньев - кусков по 1 м, - причем $L$ и $C$ мы уже вычислили. Волновое сопротивление такой цепи равно
$Z = \sqrt{ \frac{L}{C} } \approx 55 Ом$.
Получилось активное сопротивление - без реактивной составляющей. Кстати, если бы мы взяли куски другой длины (не слишком длинные!), то получили бы тот же ответ.
Описанный в задаче кабель почти такой же, как и обычный 50-омный кабель, используемый при передаче сигналов не слишком больших частот - единицы, десятки, даже сотни мегагерц.
