Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13335
2020-02-19 
Широкий параллельный пучок лучей падает на прозрачный однородный шар из материала с коэффициентом преломления $n = 1,414$. Найдите размер светлого пятна на противоположной стороне шара.
Решение:
Лучи, идущие близко к "главному" диаметру шара $OO_{1}$ (малые углы падения), выходят с другой стороны тоже близко к нему; значит, не они определяют максимальный диаметр пятна. При заданном значении коэффициента преломления близкие к краю шара лучи попадают почти точно в точку на том же диаметре (угол падения $90^{ \circ}$, угол преломления $45^{ \circ}$). Ясно, что максимальное значение диаметра пятна, получается, от лучей, падающих где-то посредине; обозначим соответствующий угол падения луча $\alpha_{0}$.
Пусть А - точка входа луча в шар, Б - точка выхода луча из шара (см. рисунок). Тогда угол $БOO_{1}$ равен $2 \beta - \alpha$, где $\sin \beta = \frac{ \sin \alpha}{n}$ , и максимальный радиус пятна определяется максимальным значением выражения $R \sin (2 \beta - \alpha)$, где $R$ - радиус шара. Таким образом, нужно исследовать на максимум выражение $R \sin \left ( 2 arcsin \frac{ \sin \alpha }{n} - \alpha \right )$. Можно приравнять к нулю производную этого выражения по $\alpha$, а можно упростить процедуру за счет монотонности синуса в интересующем нас диапазоне углов и брать производную от аргумента $2 arcsin \frac{ \sin \alpha}{n} - \alpha$. Уравнение получается довольно простым, вот его решение:
$\alpha_{0} = 54,7^{ \circ}$.
При этом радиус светлого пятна на противоположной стороне шара равен
$r = 0,272R$.
Ответ можно получить довольно быстро подбором при помощи калькулятора (даже непрограммируемого -лишь бы он умел вычислять тригонометрические функции). У автора такой подбор занял чуть меньше трех минут.
Широкий параллельный пучок лучей падает на прозрачный однородный шар из материала с коэффициентом преломления $n = 1,414$. Найдите размер светлого пятна на противоположной стороне шара.
Решение:
Лучи, идущие близко к "главному" диаметру шара $OO_{1}$ (малые углы падения), выходят с другой стороны тоже близко к нему; значит, не они определяют максимальный диаметр пятна. При заданном значении коэффициента преломления близкие к краю шара лучи попадают почти точно в точку на том же диаметре (угол падения $90^{ \circ}$, угол преломления $45^{ \circ}$). Ясно, что максимальное значение диаметра пятна, получается, от лучей, падающих где-то посредине; обозначим соответствующий угол падения луча $\alpha_{0}$.
Пусть А - точка входа луча в шар, Б - точка выхода луча из шара (см. рисунок). Тогда угол $БOO_{1}$ равен $2 \beta - \alpha$, где $\sin \beta = \frac{ \sin \alpha}{n}$ , и максимальный радиус пятна определяется максимальным значением выражения $R \sin (2 \beta - \alpha)$, где $R$ - радиус шара. Таким образом, нужно исследовать на максимум выражение $R \sin \left ( 2 arcsin \frac{ \sin \alpha }{n} - \alpha \right )$. Можно приравнять к нулю производную этого выражения по $\alpha$, а можно упростить процедуру за счет монотонности синуса в интересующем нас диапазоне углов и брать производную от аргумента $2 arcsin \frac{ \sin \alpha}{n} - \alpha$. Уравнение получается довольно простым, вот его решение:
$\alpha_{0} = 54,7^{ \circ}$.
При этом радиус светлого пятна на противоположной стороне шара равен
$r = 0,272R$.
Ответ можно получить довольно быстро подбором при помощи калькулятора (даже непрограммируемого -лишь бы он умел вычислять тригонометрические функции). У автора такой подбор занял чуть меньше трех минут.
