Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13331
2020-02-19 
У Пети и Васи в кухне на даче имеется небольшой автоматический подогреватель воды. Он представляет собой пятилитровую емкость с хорошей теплоизоляцией и электрическим двухкиловаттным нагревателем. Емкость всегда соединена с водопроводной трубой, по которой в нее может поступать холодная вода, а внизу есть краник, через который можно отбирать горячую воду. Нагреватель снабжен реле с регулятором, позволяющим установить желаемую температуру воды. Подогреватель используется в основном для мытья посуды, а поскольку ночью посуду никто не моет, его на ночь отключают.
И тут у братьев зашел спор. Петя считал, что они поступают экономно, отключая электропитание прибора на ночь. Вася же полагал, что разницы никакой нет - ведь за ночь вода сильно остывает, и утром нагреватель включается на более длительное время, а если оставлять электропитание, то за ночь нагреватель будет включаться много раз, зато на небольшое время, поддерживая заданную температуру воды. Чтобы решить спор, братья проделали эксперимент. Они установили регулятор температуры на $46^{ \circ} С$. Оказалось, что за 9 ночным часов вода остыла до $30^{ \circ} С$. Температура воздуха ночью в кухне была $16^{ \circ} C$. Достаточно ли этих данным, чтобы оценить, сколько придется платить в месяц, если отключать или не отключать питание подогревателя воды на ночь? Стоимость киловатт-часа принять равной 3 рублям.
Решение:
Пусть на ночь подогреватель не отключается от сети. Тогда после охлаждения воды от заданной температуры $t_{max}$ на величину $\Delta t$ (она определяется чувствительностью датчика и реле) включается нагреватель, который за время $\Delta \tau$ доводит температуру до $t_{max}$, после чего он отключается, и вода снова начинает остывать. Получается пилообразная зависимость температуры от времени. Причем из-за небольшой величины $\Delta t$ "пила" состоит из прямых отрезков.
Скорость остывания воды $w$ пропорциональна разности между температурой горячей воды $t_{max}$ и температурой окружающего воздуха $t_{возд}$:
$w = k (t_{max} - t_{возд} ) = \frac{ \Delta t}{ \Delta \tau }$,
где константа $k$ определяется условиями теплоотвода. Отсюда находим время до следующего включения нагревателя:
$\Delta \tau = \frac{ \Delta t}{w} = \frac{ \Delta t}{k (t_{max} - t_{возд} ) }$.
Число включений за ночь, т.е. за время $\tau$, равно
$n = \frac{ \tau}{ \Delta \tau} = \frac{k \tau (t_{max} - t_{возд} ) }{ \Delta t}$.
Расход энергии, полученной от нагревателя за время $\tau$, равен $W_{1} = mc \Delta tn$, где $m$ - масса воды, $c$ - ее удельная теплоемкость. Подставляя число включений $n$, получаем
$W_{1} = \frac{mc \Delta tk \tau ( t_{max} - t_{возд} )}{ \Delta t} = mc k \tau (t_{max} - t_{возд} )$
- расход энергии не зависит от длительности периодов охлаждения (при условии, что они невелики, так что температура снижается линейно).
Пусть теперь нагреватель на ночь выключается. Температура снижается экспоненциально от $t_{max}$ до некоторой $t_{min}$. Это описывается уравнением
$t_{min} - t_{возд} = (t_{max} - t_{возд} ) e^{ - \tau }$. (*)
Утром включенный нагреватель греет частично остывшую воду от $t_{min}$ до $t_{max}$, при этом затрачивается энергия
$W_{2} = mc (t_{max} - t_{min} )$.
Используем теперь результаты эксперимента. Имеем: $\tau = 9 ч, t_{max} = 46^{ \circ} C, t_{возд} = 16^{ \circ} C, t_{min} = 30^{ \circ} C$. Подставляем эти данные в уравнение (* ) и получаем
$30 - 16 = (46 - 16) \cdot e^{-9k}$,
откуда находим
$e^{-9k} = \frac{14}{30} = 0,47, -9k = ln 0,47 = - 0,76$, и $k = 0,084 ч^{-1}$.
Тогда расход энергии без выключения нагревателя равен
$W_{1} = mckT ( t_{max} - t_{возд} ) = 22,7mc$.
Расход энергии с выключением нагревателя составляет
$W_{2} = mc (t_{max} - t_{min} ) = 16mc$.
Вывод: при выключении нагревателя на ночь расход энергии уменьшается в $\frac{22,7}{16} = 1,4$ раза.
Пусть $m = 5 кг, c = 4,2 кДж/(кг \cdot К)$. Тогда утром по второму способу расход энергии на нагрев воды будет $5 кг \cdot 4,2 кДж/(кг \cdot К) \cdot 16 К \approx 340 кДж \approx 0,1 кВт \cdot ч$. За месяц такой "ночной" расход составит $3 кВт \cdot ч$, за что придется заплатить 9 рублей. А по первому способу - в 1,4 раза больше, т.е. 12,6 рублей.
Как видим, разница небольшая, почти в пределах ошибки измерений. Во всяком случае, сэкономленных за лето денег (в случае выключения нагревателя на ночь) не хватит даже на мороженое.
У Пети и Васи в кухне на даче имеется небольшой автоматический подогреватель воды. Он представляет собой пятилитровую емкость с хорошей теплоизоляцией и электрическим двухкиловаттным нагревателем. Емкость всегда соединена с водопроводной трубой, по которой в нее может поступать холодная вода, а внизу есть краник, через который можно отбирать горячую воду. Нагреватель снабжен реле с регулятором, позволяющим установить желаемую температуру воды. Подогреватель используется в основном для мытья посуды, а поскольку ночью посуду никто не моет, его на ночь отключают.
И тут у братьев зашел спор. Петя считал, что они поступают экономно, отключая электропитание прибора на ночь. Вася же полагал, что разницы никакой нет - ведь за ночь вода сильно остывает, и утром нагреватель включается на более длительное время, а если оставлять электропитание, то за ночь нагреватель будет включаться много раз, зато на небольшое время, поддерживая заданную температуру воды. Чтобы решить спор, братья проделали эксперимент. Они установили регулятор температуры на $46^{ \circ} С$. Оказалось, что за 9 ночным часов вода остыла до $30^{ \circ} С$. Температура воздуха ночью в кухне была $16^{ \circ} C$. Достаточно ли этих данным, чтобы оценить, сколько придется платить в месяц, если отключать или не отключать питание подогревателя воды на ночь? Стоимость киловатт-часа принять равной 3 рублям.
Решение:
Пусть на ночь подогреватель не отключается от сети. Тогда после охлаждения воды от заданной температуры $t_{max}$ на величину $\Delta t$ (она определяется чувствительностью датчика и реле) включается нагреватель, который за время $\Delta \tau$ доводит температуру до $t_{max}$, после чего он отключается, и вода снова начинает остывать. Получается пилообразная зависимость температуры от времени. Причем из-за небольшой величины $\Delta t$ "пила" состоит из прямых отрезков.
Скорость остывания воды $w$ пропорциональна разности между температурой горячей воды $t_{max}$ и температурой окружающего воздуха $t_{возд}$:
$w = k (t_{max} - t_{возд} ) = \frac{ \Delta t}{ \Delta \tau }$,
где константа $k$ определяется условиями теплоотвода. Отсюда находим время до следующего включения нагревателя:
$\Delta \tau = \frac{ \Delta t}{w} = \frac{ \Delta t}{k (t_{max} - t_{возд} ) }$.
Число включений за ночь, т.е. за время $\tau$, равно
$n = \frac{ \tau}{ \Delta \tau} = \frac{k \tau (t_{max} - t_{возд} ) }{ \Delta t}$.
Расход энергии, полученной от нагревателя за время $\tau$, равен $W_{1} = mc \Delta tn$, где $m$ - масса воды, $c$ - ее удельная теплоемкость. Подставляя число включений $n$, получаем
$W_{1} = \frac{mc \Delta tk \tau ( t_{max} - t_{возд} )}{ \Delta t} = mc k \tau (t_{max} - t_{возд} )$
- расход энергии не зависит от длительности периодов охлаждения (при условии, что они невелики, так что температура снижается линейно).
Пусть теперь нагреватель на ночь выключается. Температура снижается экспоненциально от $t_{max}$ до некоторой $t_{min}$. Это описывается уравнением
$t_{min} - t_{возд} = (t_{max} - t_{возд} ) e^{ - \tau }$. (*)
Утром включенный нагреватель греет частично остывшую воду от $t_{min}$ до $t_{max}$, при этом затрачивается энергия
$W_{2} = mc (t_{max} - t_{min} )$.
Используем теперь результаты эксперимента. Имеем: $\tau = 9 ч, t_{max} = 46^{ \circ} C, t_{возд} = 16^{ \circ} C, t_{min} = 30^{ \circ} C$. Подставляем эти данные в уравнение (* ) и получаем
$30 - 16 = (46 - 16) \cdot e^{-9k}$,
откуда находим
$e^{-9k} = \frac{14}{30} = 0,47, -9k = ln 0,47 = - 0,76$, и $k = 0,084 ч^{-1}$.
Тогда расход энергии без выключения нагревателя равен
$W_{1} = mckT ( t_{max} - t_{возд} ) = 22,7mc$.
Расход энергии с выключением нагревателя составляет
$W_{2} = mc (t_{max} - t_{min} ) = 16mc$.
Вывод: при выключении нагревателя на ночь расход энергии уменьшается в $\frac{22,7}{16} = 1,4$ раза.
Пусть $m = 5 кг, c = 4,2 кДж/(кг \cdot К)$. Тогда утром по второму способу расход энергии на нагрев воды будет $5 кг \cdot 4,2 кДж/(кг \cdot К) \cdot 16 К \approx 340 кДж \approx 0,1 кВт \cdot ч$. За месяц такой "ночной" расход составит $3 кВт \cdot ч$, за что придется заплатить 9 рублей. А по первому способу - в 1,4 раза больше, т.е. 12,6 рублей.
Как видим, разница небольшая, почти в пределах ошибки измерений. Во всяком случае, сэкономленных за лето денег (в случае выключения нагревателя на ночь) не хватит даже на мороженое.
