Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13330
2020-02-19 
По прямой бежит кролик, его скорость все время равна $v_{0} = 5 м/с$. В точке, отстоящей на $L_{0} = 100 м$ от этой прямой, сидит лиса. Она замечает кролика и бросается в погоню, когда тот находится на минимальном расстоянии от упомянутой точки. Лиса бежит с такой же по величине скоростью, вектор скорости лисы направлен в любой момент в точку, где находится кролик. Найдите максимальное ускорение лисы в процессе погони. Лису и кролика считать материальными точками.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с кроликом. В этой системе ускорение лисы такое же, как и в неподвижной системе отсчета. Проведем расчет для некоторой точки A (рис.). Обозначим угол AОБ буквой $\alpha$, отрезок ОА - буквой $L$. Сумма расстояний ОА и АБ остается неизменной: ОА + АБ = $L_{0}$ . Ускорение лисы определяется вращением вектора $\vec{v}_{0}$, направленного вдоль АО. Движение лисы происходит вдоль биссектрисы угла, образованного двумя векторами $\vec{v}_{0}$. Выберем малый интервал времени $\Delta t$ и рассмотрим треугольник АОВ (рис.). Тогда, по теореме синусов,
$\frac{AB}{ \sin \omega \Delta t} = \frac{OB}{ \sin \left (45^{ \circ} + \frac{ \alpha}{2} \right )}$,
или
$\frac{2v_{0} \left ( 45^{ \circ} + \frac{ \alpha }{2} \right ) \Delta t }{ \omega \Delta t} = \frac{L}{ \sin \left ( 45^{ \circ} + \frac{ \alpha }{2} \right ) }$
Отсюда находим угловую скорость:
$\omega = \frac{v_{0} \cos \alpha}{L} = \frac{v_{0} \cos \alpha}{ \frac{L_{0} }{1 + \sin \alpha } }$
и ускорение:
$a = \omega v_{0} = \frac{ v_{0}^{2} \cos \alpha \cdot (1 + \sin \alpha ) }{L_{0} }$.
Исследуем полученное выражение для ускорения на максимум:
$( \cos \alpha \cdot (1 + \sin \alpha ))_{ \alpha}^{ \prime} = 0$,
$2 \sin^{2} \alpha_{max} + \sin \alpha_{max} - 1 = 0$,
$\sin \alpha_{max} = \frac{-1 \pm 3}{4}, \sin \alpha_{max} = 0,5, \alpha_{max} = 30^{ \circ}$.
Окончательно,
$\alpha_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{L_{0} } \frac{ \sqrt{3}}{2} \frac{3}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{v_{0}^{2} }{L_{0} } \approx 0,3 м/с^{2}$.
По прямой бежит кролик, его скорость все время равна $v_{0} = 5 м/с$. В точке, отстоящей на $L_{0} = 100 м$ от этой прямой, сидит лиса. Она замечает кролика и бросается в погоню, когда тот находится на минимальном расстоянии от упомянутой точки. Лиса бежит с такой же по величине скоростью, вектор скорости лисы направлен в любой момент в точку, где находится кролик. Найдите максимальное ускорение лисы в процессе погони. Лису и кролика считать материальными точками.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с кроликом. В этой системе ускорение лисы такое же, как и в неподвижной системе отсчета. Проведем расчет для некоторой точки A (рис.). Обозначим угол AОБ буквой $\alpha$, отрезок ОА - буквой $L$. Сумма расстояний ОА и АБ остается неизменной: ОА + АБ = $L_{0}$ . Ускорение лисы определяется вращением вектора $\vec{v}_{0}$, направленного вдоль АО. Движение лисы происходит вдоль биссектрисы угла, образованного двумя векторами $\vec{v}_{0}$. Выберем малый интервал времени $\Delta t$ и рассмотрим треугольник АОВ (рис.). Тогда, по теореме синусов,
$\frac{AB}{ \sin \omega \Delta t} = \frac{OB}{ \sin \left (45^{ \circ} + \frac{ \alpha}{2} \right )}$,
или
$\frac{2v_{0} \left ( 45^{ \circ} + \frac{ \alpha }{2} \right ) \Delta t }{ \omega \Delta t} = \frac{L}{ \sin \left ( 45^{ \circ} + \frac{ \alpha }{2} \right ) }$
Отсюда находим угловую скорость:
$\omega = \frac{v_{0} \cos \alpha}{L} = \frac{v_{0} \cos \alpha}{ \frac{L_{0} }{1 + \sin \alpha } }$
и ускорение:
$a = \omega v_{0} = \frac{ v_{0}^{2} \cos \alpha \cdot (1 + \sin \alpha ) }{L_{0} }$.
Исследуем полученное выражение для ускорения на максимум:
$( \cos \alpha \cdot (1 + \sin \alpha ))_{ \alpha}^{ \prime} = 0$,
$2 \sin^{2} \alpha_{max} + \sin \alpha_{max} - 1 = 0$,
$\sin \alpha_{max} = \frac{-1 \pm 3}{4}, \sin \alpha_{max} = 0,5, \alpha_{max} = 30^{ \circ}$.
Окончательно,
$\alpha_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{L_{0} } \frac{ \sqrt{3}}{2} \frac{3}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{v_{0}^{2} }{L_{0} } \approx 0,3 м/с^{2}$.
