Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13329
2020-02-19 
Суточный спутник Земли вращается по круговой орбите, лежащей в экваториальной плоскости. В результате кратковременного включения тормозного двигателя скорость спутника уменьшается по величине на 1 м/с, а направление скорости не меняется. Найдите изменение периода обращения спутника.
Решение:
Вначале обычным образом проведем расчет орбиты суточного спутника. Пусть радиус его орбиты $R = nR_{0}$, где $R_{0}$ - радиус Земли. Найдем $n$. Ускорение спутника на круговой орбите в $n^{2}$ раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли:
$\frac{v^{2}}{R} = \frac{g}{n^{2} }$.
Выразим теперь период обращения $T$:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$.
Тогда
$n \approx 6,63$, и $v \approx 3070 м/с$.
Теперь о новой орбите. В апогее скорость спутника равна $v - \Delta v$ и расстояние от центра Земли равно $R$, в перигее обозначим скорость $v_{1}$, а расстояние $R_{1}$. По второму закону Кеплера,
$(v - \Delta v )R = v_{1}R_{1}$.
Полные энергии в этих точках одинаковы, тогда
$\frac{(v - \Delta v)^{2}}{2} - \frac{GM}{R} = \frac{v_{1}^{2} }{2} - \frac{GM}{R_{1} }$.
Исключим из последних двух уравнений скорость в перигее $v_{1}$ и выразим расстояние $R_{1}$, точнее - величину $R + R_{1}$, т.е. большую ось новой орбиты.
Нам нужно знать отношение больших осей (или полуосей) новой и старой орбит, тогда можно будет при помощи третьего закона Кеплера найти отношение периодов обращения:
$\frac{T_{1}^{2}}{T^{2} } = \frac{(R + R_{1} )^{3}}{(2R)^{3} }$.
После соответствующих преобразований получим
$\frac{R + R_{1} }{2R} \approx 1 - \frac{ 2 \Delta v}{v}$, и $T_{1} \approx T \left ( 1- \frac{3 \Delta v}{v} \right ) \approx 0,999T$.
Итак, период обращения спутника уменьшится на 86,4 секунды.
Суточный спутник Земли вращается по круговой орбите, лежащей в экваториальной плоскости. В результате кратковременного включения тормозного двигателя скорость спутника уменьшается по величине на 1 м/с, а направление скорости не меняется. Найдите изменение периода обращения спутника.
Решение:
Вначале обычным образом проведем расчет орбиты суточного спутника. Пусть радиус его орбиты $R = nR_{0}$, где $R_{0}$ - радиус Земли. Найдем $n$. Ускорение спутника на круговой орбите в $n^{2}$ раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли:
$\frac{v^{2}}{R} = \frac{g}{n^{2} }$.
Выразим теперь период обращения $T$:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$.
Тогда
$n \approx 6,63$, и $v \approx 3070 м/с$.
Теперь о новой орбите. В апогее скорость спутника равна $v - \Delta v$ и расстояние от центра Земли равно $R$, в перигее обозначим скорость $v_{1}$, а расстояние $R_{1}$. По второму закону Кеплера,
$(v - \Delta v )R = v_{1}R_{1}$.
Полные энергии в этих точках одинаковы, тогда
$\frac{(v - \Delta v)^{2}}{2} - \frac{GM}{R} = \frac{v_{1}^{2} }{2} - \frac{GM}{R_{1} }$.
Исключим из последних двух уравнений скорость в перигее $v_{1}$ и выразим расстояние $R_{1}$, точнее - величину $R + R_{1}$, т.е. большую ось новой орбиты.
Нам нужно знать отношение больших осей (или полуосей) новой и старой орбит, тогда можно будет при помощи третьего закона Кеплера найти отношение периодов обращения:
$\frac{T_{1}^{2}}{T^{2} } = \frac{(R + R_{1} )^{3}}{(2R)^{3} }$.
После соответствующих преобразований получим
$\frac{R + R_{1} }{2R} \approx 1 - \frac{ 2 \Delta v}{v}$, и $T_{1} \approx T \left ( 1- \frac{3 \Delta v}{v} \right ) \approx 0,999T$.
Итак, период обращения спутника уменьшится на 86,4 секунды.
