Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13324
2020-02-19 
Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли $pV$ - диаграмму замкнутого циклического процесса тепловой машины (см. рисунок). Процесс 1-2 - изобара, процесс 2-3 - адиабата, 3-1 -изотерма. От времени чернила выцвели, и координатные оси на диаграмме исчезли. Известно, что рабочим веществом машины был идеальный газ (гелий) количеством $\nu = 2 моль$. Масштаб по оси давлений: 1 мал. кл. = 1 атм, по оси объемов: 1 мал. кл. = 1 л. 1) Восстановите положение координатных осей и вычислите максимальное давление газа в данном циклическом процессе. 2) Вычислите максимальную и минимальную температуры газа в цикле. 3) Найдите работу $A_{T}$ газа на изотерме 3-1. 4) Найдите КПД цикла $\eta$.
Примечание. Универсальная газовая постоянная $R = 0,082 л.атм/(моль \cdot К)$.
Решение:
1) Будем отсчитывать разность давлений $\Delta p = p - p_{3}$ от точки 3 и разность объемов $\Delta V = V - V_{1}$ от точки 1. Тогда уравнение изотермы запишется в виде
$pV = (p_{3} + \Delta p)(V_{1} + \Delta V) = const$.
Рассмотрев три точки на изотерме - например, точки 1, 3 и одну в середине графика, - можно составить систему уравнений и выразить $p_{3}$ и $V_{1}$.
А можно $p_{3}$ и $V_{1}$ найти более точным способом. Заметим, что $p_{1} - p_{3}$ численно, в клетках, равно $V_{3} - V_{1}$, значит, в этом масштабе график изотермы симметричен относительно перестановки $p \Leftrightarrow V$ и $p_{3}$ численно равно $V_{1}$ и равно некоторому числу $a$. Таким образом, численно справедливо уравнение
$\Delta p \Delta V + a( \Delta p + \Delta V) + a^{2} = const$.
Если отметить несколько точек на данном графике и построить график зависимости $y = \Delta p \Delta V$ от $x = \Delta p + \Delta V$, то графиком будет прямая с коэффициентом наклона $k = -a$. Так, найдем $p_{3} \approx 1 атм, V_{1} \approx 1 л$, и, следовательно, максимальное давление $p_{max} = p_{1} \approx 32 атм$. Положение координатных осей становится очевидным.
2) Теперь можно определить максимальную и минимальную температуры в цикле:
$T_{min} = T_{1} = T_{3} = \frac{p_{1}V_{1}}{ \nu R} \approx 195 К$,
$T_{max} = T_{2} = \frac{p_{2}V_{2} }{ \nu R} \approx 780 К$.
3) Работу газа на изотерме можно определить как площадь под графиком изотермы со знаком минус:
$A_{T} \approx - 11,2 кДж$.
4) КПД цикла найдем как отношение работы $A$ газа за цикл к подведенному количеству теплоты $Q_{+} = Q_{12} = A_{12} + \nu C_{V} (T_{2} - T_{1} ) = \frac{5A_{12}}{2}$. Работы определим по графику:
$A \approx - 13,0 кДж$ и $A_{12} \approx 9,7 кДж$.
Окончательно получим
$eta = \frac{A}{Q_{+} } = \frac{2A}{5A_{12} } 100$ % $\approx 54$% .
Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли $pV$ - диаграмму замкнутого циклического процесса тепловой машины (см. рисунок). Процесс 1-2 - изобара, процесс 2-3 - адиабата, 3-1 -изотерма. От времени чернила выцвели, и координатные оси на диаграмме исчезли. Известно, что рабочим веществом машины был идеальный газ (гелий) количеством $\nu = 2 моль$. Масштаб по оси давлений: 1 мал. кл. = 1 атм, по оси объемов: 1 мал. кл. = 1 л. 1) Восстановите положение координатных осей и вычислите максимальное давление газа в данном циклическом процессе. 2) Вычислите максимальную и минимальную температуры газа в цикле. 3) Найдите работу $A_{T}$ газа на изотерме 3-1. 4) Найдите КПД цикла $\eta$.
Примечание. Универсальная газовая постоянная $R = 0,082 л.атм/(моль \cdot К)$.
Решение:
1) Будем отсчитывать разность давлений $\Delta p = p - p_{3}$ от точки 3 и разность объемов $\Delta V = V - V_{1}$ от точки 1. Тогда уравнение изотермы запишется в виде
$pV = (p_{3} + \Delta p)(V_{1} + \Delta V) = const$.
Рассмотрев три точки на изотерме - например, точки 1, 3 и одну в середине графика, - можно составить систему уравнений и выразить $p_{3}$ и $V_{1}$.
А можно $p_{3}$ и $V_{1}$ найти более точным способом. Заметим, что $p_{1} - p_{3}$ численно, в клетках, равно $V_{3} - V_{1}$, значит, в этом масштабе график изотермы симметричен относительно перестановки $p \Leftrightarrow V$ и $p_{3}$ численно равно $V_{1}$ и равно некоторому числу $a$. Таким образом, численно справедливо уравнение
$\Delta p \Delta V + a( \Delta p + \Delta V) + a^{2} = const$.
Если отметить несколько точек на данном графике и построить график зависимости $y = \Delta p \Delta V$ от $x = \Delta p + \Delta V$, то графиком будет прямая с коэффициентом наклона $k = -a$. Так, найдем $p_{3} \approx 1 атм, V_{1} \approx 1 л$, и, следовательно, максимальное давление $p_{max} = p_{1} \approx 32 атм$. Положение координатных осей становится очевидным.
2) Теперь можно определить максимальную и минимальную температуры в цикле:
$T_{min} = T_{1} = T_{3} = \frac{p_{1}V_{1}}{ \nu R} \approx 195 К$,
$T_{max} = T_{2} = \frac{p_{2}V_{2} }{ \nu R} \approx 780 К$.
3) Работу газа на изотерме можно определить как площадь под графиком изотермы со знаком минус:
$A_{T} \approx - 11,2 кДж$.
4) КПД цикла найдем как отношение работы $A$ газа за цикл к подведенному количеству теплоты $Q_{+} = Q_{12} = A_{12} + \nu C_{V} (T_{2} - T_{1} ) = \frac{5A_{12}}{2}$. Работы определим по графику:
$A \approx - 13,0 кДж$ и $A_{12} \approx 9,7 кДж$.
Окончательно получим
$eta = \frac{A}{Q_{+} } = \frac{2A}{5A_{12} } 100$ % $\approx 54$% .
