Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13322
2020-02-19 
Подъемный кран медленно поднимает с помощью троса плавающее в воде бревно (рис.). Трос прикреплен к одному концу бревна, которое можно считать тонким цилиндром с постоянной плотностью. Масса бревна $m$, длина $L$. Отношение плотностей воды и древесины $\gamma = 4/3$. Ускорение свободного падения $g$. Начальное положение бревна горизонтальное. 1) Какую минимальную работу $A$ нужно совершить крану, чтобы полностью вытащить бревно из воды? 2) Постройте график зависимости силы натяжения $T$ троса от высоты над водой $h$ приподнимаемого конца бревна. Укажите характерные точки графика. 3) Какую работу $A_{ \Delta h}$ совершит кран при переводе бревна из одного наклонного положения в другое наклонное положение, в котором верхний конец бревна поднялся на высоту $\Delta h = \frac{L}{5}$?
Решение:
1) Минимальная работа крана равна изменению потенциальной энергии бревна:
$A = \frac{mgL}{2}$.
2) Бревно в процессе подъема будет образовывать некий угол $\alpha$ с поверхностью воды, пока не примет вертикальное положение, оставаясь частично погруженным в воду. Бревно находится в равновесии, если выполняются два условия (рис.).
а) Сумма всех действующих на бревно сил равна нулю, или, в проекциях на вертикальную ось:
$T + F_{A} - mg = 0$,
где $F_{A} = \frac{mg \gamma x_{0}}{L}$ - архимедова сила, $x_{0}$ - длина части бревна, погруженной в воду.
б) Сумма моментов сил относительно произвольной оси вращения равна нулю, или, выбрав ось, проходящую через верхний конец бревна:
$mg \frac{L}{2} \cos \alpha - \left ( mg \gamma \frac{x_{0} }{L} \right ) \left ( L - \frac{x_{0} }{2} \right ) \cos \alpha = 0$.
Отсюда следует, что сила $T$ натяжения троса не зависит от угла наклона бревна относительно горизонта. Решая последнее уравнение, получим, что в воде будет находиться часть бревна длиной
$x_{0} = L \left ( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{ \gamma } } \right ) = \frac{L}{2}$.
Пока бревно будет оставаться в наклонном положении, сила натяжения троса будет постоянной и равной $\frac{mg}{3}$. После того как бревно примет вертикальное положение, сила натяжения троса будет линейно возрастать от $\frac{mg}{3}$ до $mg$:
$T = mg - F_{A} = mg \left ( 1 - \frac{ \gamma x}{L} \right )$.
График зависимости силы натяжения троса $T$ от высоты $h$ приведен на рисунке.
3) Подъем верхнего конца бревна на высоту $\Delta h$ происходит при постоянной силе натяжения $\frac{mg}{3}$. Поэтому искомая работа равна
$A_{ \Delta h} = T \Delta h = \frac{mg}{3} \frac{L}{5} = \frac{mgL}{15}$.
Подъемный кран медленно поднимает с помощью троса плавающее в воде бревно (рис.). Трос прикреплен к одному концу бревна, которое можно считать тонким цилиндром с постоянной плотностью. Масса бревна $m$, длина $L$. Отношение плотностей воды и древесины $\gamma = 4/3$. Ускорение свободного падения $g$. Начальное положение бревна горизонтальное. 1) Какую минимальную работу $A$ нужно совершить крану, чтобы полностью вытащить бревно из воды? 2) Постройте график зависимости силы натяжения $T$ троса от высоты над водой $h$ приподнимаемого конца бревна. Укажите характерные точки графика. 3) Какую работу $A_{ \Delta h}$ совершит кран при переводе бревна из одного наклонного положения в другое наклонное положение, в котором верхний конец бревна поднялся на высоту $\Delta h = \frac{L}{5}$?
Решение:
1) Минимальная работа крана равна изменению потенциальной энергии бревна:
$A = \frac{mgL}{2}$.
2) Бревно в процессе подъема будет образовывать некий угол $\alpha$ с поверхностью воды, пока не примет вертикальное положение, оставаясь частично погруженным в воду. Бревно находится в равновесии, если выполняются два условия (рис.).
а) Сумма всех действующих на бревно сил равна нулю, или, в проекциях на вертикальную ось:
$T + F_{A} - mg = 0$,
где $F_{A} = \frac{mg \gamma x_{0}}{L}$ - архимедова сила, $x_{0}$ - длина части бревна, погруженной в воду.
б) Сумма моментов сил относительно произвольной оси вращения равна нулю, или, выбрав ось, проходящую через верхний конец бревна:
$mg \frac{L}{2} \cos \alpha - \left ( mg \gamma \frac{x_{0} }{L} \right ) \left ( L - \frac{x_{0} }{2} \right ) \cos \alpha = 0$.
Отсюда следует, что сила $T$ натяжения троса не зависит от угла наклона бревна относительно горизонта. Решая последнее уравнение, получим, что в воде будет находиться часть бревна длиной
$x_{0} = L \left ( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{ \gamma } } \right ) = \frac{L}{2}$.
Пока бревно будет оставаться в наклонном положении, сила натяжения троса будет постоянной и равной $\frac{mg}{3}$. После того как бревно примет вертикальное положение, сила натяжения троса будет линейно возрастать от $\frac{mg}{3}$ до $mg$:
$T = mg - F_{A} = mg \left ( 1 - \frac{ \gamma x}{L} \right )$.
График зависимости силы натяжения троса $T$ от высоты $h$ приведен на рисунке.
3) Подъем верхнего конца бревна на высоту $\Delta h$ происходит при постоянной силе натяжения $\frac{mg}{3}$. Поэтому искомая работа равна
$A_{ \Delta h} = T \Delta h = \frac{mg}{3} \frac{L}{5} = \frac{mgL}{15}$.
