Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1332
2016-10-21 
Точечный источник света находится на расстоянии $L$ от экрана. Тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F > L/4$, параллельную экрану, перемещают между источником и экраном. При каком положении линзы диаметр пятна, видимого на экране, будем минимальным?
Решение:
На рисунке изображён ход лучей через линзу.
Обозначим расстояния от линзы до источника и до изображения $x$ и $y$ соответственно, диаметр линзы $D$, диаметр пятна на экране $d$. Тогда из подобия треугольников:
$d = D \cdot \frac{x+y-L}{y} = D \left ( \frac{x-L}{y} + 1 \right )$.
Найдём такое $x$, при котором $d$ минимально. Отметим, что не имеет смысла рассматривать значения $x \leq F$, так как в этом случае $d \geq D$, и размер пятна явно не может быть минимальным. Ясно, что $d$ будет минимальным тогда, когда минимальное значение примет функция
$f = \frac{x-L}{y}$.
Применяя формулу тонкой линзы, получаем:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{F} - \frac{1}{x}$.
Следовательно,
$f = \frac{(x-L)(x-F)}{Fx} = \frac{1}{F} \left ( x + \frac{LF}{x} - (L+F) \right ) = \frac{1}{F} \left ( \left ( \sqrt{x} - \frac{ \sqrt{LF}}{ \sqrt{x}} \right )^{2} - \left ( \sqrt{L} - \sqrt{F} \right )^{2} \right )$.
Выражение $\left ( \sqrt{x} - \frac{ \sqrt{LF}}{ \sqrt{x}} \right )^{2} - \left ( \sqrt{L} - \sqrt{F} \right )^{2}$ минимально тогда, когда первое слагаемое равно нулю: $\sqrt{x} = \frac{ \sqrt{LF}}{ \sqrt{x}}$. Отсюда $x_{0} = \sqrt{LF}$. Этому значению $x_{0}$ соответствует минимально возможный диаметр пятна на экране:
$f = D \cdot \frac{ 2 \sqrt{LF} - L}{F}$.
Точечный источник света находится на расстоянии $L$ от экрана. Тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F > L/4$, параллельную экрану, перемещают между источником и экраном. При каком положении линзы диаметр пятна, видимого на экране, будем минимальным?
Решение:
На рисунке изображён ход лучей через линзу.
Обозначим расстояния от линзы до источника и до изображения $x$ и $y$ соответственно, диаметр линзы $D$, диаметр пятна на экране $d$. Тогда из подобия треугольников:
$d = D \cdot \frac{x+y-L}{y} = D \left ( \frac{x-L}{y} + 1 \right )$.
Найдём такое $x$, при котором $d$ минимально. Отметим, что не имеет смысла рассматривать значения $x \leq F$, так как в этом случае $d \geq D$, и размер пятна явно не может быть минимальным. Ясно, что $d$ будет минимальным тогда, когда минимальное значение примет функция
$f = \frac{x-L}{y}$.
Применяя формулу тонкой линзы, получаем:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{F} - \frac{1}{x}$.
Следовательно,
$f = \frac{(x-L)(x-F)}{Fx} = \frac{1}{F} \left ( x + \frac{LF}{x} - (L+F) \right ) = \frac{1}{F} \left ( \left ( \sqrt{x} - \frac{ \sqrt{LF}}{ \sqrt{x}} \right )^{2} - \left ( \sqrt{L} - \sqrt{F} \right )^{2} \right )$.
Выражение $\left ( \sqrt{x} - \frac{ \sqrt{LF}}{ \sqrt{x}} \right )^{2} - \left ( \sqrt{L} - \sqrt{F} \right )^{2}$ минимально тогда, когда первое слагаемое равно нулю: $\sqrt{x} = \frac{ \sqrt{LF}}{ \sqrt{x}}$. Отсюда $x_{0} = \sqrt{LF}$. Этому значению $x_{0}$ соответствует минимально возможный диаметр пятна на экране:
$f = D \cdot \frac{ 2 \sqrt{LF} - L}{F}$.
