Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13317
2020-02-19 
Проводящие концентрические сферы имеют радиусы $R$ и $3R$, на расстоянии $2R$ от их общего центра находится точечный заряд $Q$. Сферы соединяют между собой тонким проводом, и получившийся проводник заземляют тонким проводником, имеющим большое сопротивление. Какой заряд протечет по этому проводнику? Какое количество теплоты выделится в системе за большое время?
Решение:
Найдем разность потенциалов между сферами в тот момент, когда с малой сферы на большую перетек заряд $q$. Потенциал внутренней сферы равен потенциалу центра:
$\phi_{внутр} = k \frac{-q}{R} + k \frac{Q}{2R} + k \frac{q}{3R}$.
Снаружи поле такое же, как если бы весь заряд $-q + q + Q = Q$ был расположен в центре, поэтому потенциал внешней сферы равен
$\phi_{внеш} = k \frac{Q}{3R}$.
Тогда разность потенциалов равна
$\Delta \phi = \phi_{внутр} - \phi_{внеш} = \frac{1}{6} k \frac{Q}{R} - \frac{2}{3} k \frac{q}{R}$.
Она меняется при перетекании заряда $q$ по линейному закону $\Delta \phi (q) = \frac{1}{6} k \frac{Q - 4q}{R}$ от $\frac{1}{6} k \frac{Q}{R}$ до 0, а среднее значение составляет $\frac{1}{2} \Delta \phi_{нач} = \frac{1}{12} k \frac{Q}{R}$. Полный протекший заряд равен
$q_{пр} = \frac{Q}{4}$.
При этом в соединяющем сферы проводе выделяется количество теплоты
$W_{1} = \frac{1}{12} k \frac{Q}{R} \cdot \frac{Q}{4} = \frac{1}{48} k \frac{Q^{2} }{R}$.
Теперь заземляем проводник. Пусть на землю к некоторому моменту перетек заряд $Q_{1}$. Обозначим заряды внутренней и внешней сфер $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Тогда
$q_{1} + q_{2} = - Q_{1}$ и $k \frac{q_{1} }{R} + k \frac{q_{2} }{3R} + k \frac{Q}{2R} = k \frac{Q+ q_{1} + q_{2} }{3R}$.
Отсюда находим
$q_{1} = - \frac{Q}{4}$ и $q_{2} = - Q_{1} + \frac{Q}{4}$
- заряд внутренней сферы остается неизменным и ток по "внутреннему" соединяющему проводу не течет. Это означает, что все тепло выделяется в заземляющем проводнике. По нему стекает полный заряд $Q_{1полн} = Q$, потенциал большой сферы меняется при этом от $k \frac{Q}{3R}$ до 0, среднее значение составляет $\frac{1}{6}k \frac{Q}{R}$, поэтому в заземляющем проводнике выделяется количество теплоты
$W_{2} = \frac{1}{6} k \frac{Q^{2} }{R}$.
Всего в системе выделится количество теплоты
$W_{1} + W_{2} = \frac{9}{48} k \frac{Q^{2}}{R}$.
Проводящие концентрические сферы имеют радиусы $R$ и $3R$, на расстоянии $2R$ от их общего центра находится точечный заряд $Q$. Сферы соединяют между собой тонким проводом, и получившийся проводник заземляют тонким проводником, имеющим большое сопротивление. Какой заряд протечет по этому проводнику? Какое количество теплоты выделится в системе за большое время?
Решение:
Найдем разность потенциалов между сферами в тот момент, когда с малой сферы на большую перетек заряд $q$. Потенциал внутренней сферы равен потенциалу центра:
$\phi_{внутр} = k \frac{-q}{R} + k \frac{Q}{2R} + k \frac{q}{3R}$.
Снаружи поле такое же, как если бы весь заряд $-q + q + Q = Q$ был расположен в центре, поэтому потенциал внешней сферы равен
$\phi_{внеш} = k \frac{Q}{3R}$.
Тогда разность потенциалов равна
$\Delta \phi = \phi_{внутр} - \phi_{внеш} = \frac{1}{6} k \frac{Q}{R} - \frac{2}{3} k \frac{q}{R}$.
Она меняется при перетекании заряда $q$ по линейному закону $\Delta \phi (q) = \frac{1}{6} k \frac{Q - 4q}{R}$ от $\frac{1}{6} k \frac{Q}{R}$ до 0, а среднее значение составляет $\frac{1}{2} \Delta \phi_{нач} = \frac{1}{12} k \frac{Q}{R}$. Полный протекший заряд равен
$q_{пр} = \frac{Q}{4}$.
При этом в соединяющем сферы проводе выделяется количество теплоты
$W_{1} = \frac{1}{12} k \frac{Q}{R} \cdot \frac{Q}{4} = \frac{1}{48} k \frac{Q^{2} }{R}$.
Теперь заземляем проводник. Пусть на землю к некоторому моменту перетек заряд $Q_{1}$. Обозначим заряды внутренней и внешней сфер $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Тогда
$q_{1} + q_{2} = - Q_{1}$ и $k \frac{q_{1} }{R} + k \frac{q_{2} }{3R} + k \frac{Q}{2R} = k \frac{Q+ q_{1} + q_{2} }{3R}$.
Отсюда находим
$q_{1} = - \frac{Q}{4}$ и $q_{2} = - Q_{1} + \frac{Q}{4}$
- заряд внутренней сферы остается неизменным и ток по "внутреннему" соединяющему проводу не течет. Это означает, что все тепло выделяется в заземляющем проводнике. По нему стекает полный заряд $Q_{1полн} = Q$, потенциал большой сферы меняется при этом от $k \frac{Q}{3R}$ до 0, среднее значение составляет $\frac{1}{6}k \frac{Q}{R}$, поэтому в заземляющем проводнике выделяется количество теплоты
$W_{2} = \frac{1}{6} k \frac{Q^{2} }{R}$.
Всего в системе выделится количество теплоты
$W_{1} + W_{2} = \frac{9}{48} k \frac{Q^{2}}{R}$.
