Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13316
2020-02-19 
Один из концов $U$ - образной трубки постоянного сечения с налитой в нее ртутью наглухо закрыли. Воздух в закрытом конце трубки стали медленно нагревать, измеряя зависимость его давления $p$ от температуры $T$. Как оказалось, эта зависимость в начале нагревания приближенно является линейной: $p = p_{0} \left (1 + \alpha \left ( \frac{T}{T_{0}} - 1 \right ) \right )$, где $p_{0} = 760 мм рт. ст.$ - атмосферное давление, $T_{0}$ - температура окружающей среды коэффициент $\alpha = 0,5$. Найдите высоту столба воздуха в закрытом конце трубки в начале процесса.
Решение:
Запишем уравнение состояния воздуха в закрытом конце трубки в начале процесса:
$p_{0}Sl_{0} = \nu RT_{0}$,
где $S$ - площадь сечения трубки, $l_{0}$ - искомая высота воздушного столба, $\nu$ - число молей воздуха. Пусть при нагревании до температуры $T$ уровень ртути в открытом конце трубки поднялся на $x$, а в закрытом опустился на $x$. Тогда давление воздуха в закрытом конце трубки равно $p = p_{0} + 2 \rho gx$, объем равен $S(l_{0} + x)$, и уравнение состояния воздуха имеет вид
$\nu RT = (p_{0} + 2 \rho gx) S (l_{0} + x) = p_{0}Sl_{0} + Sx (p_{0} + 2 \rho gl_{0} ) + 2 \rho gSx^{2}$.
При малых $x$, в начале процесса нагревания, квадратичным слагаемым можно пренебречь, поэтому, вычитая из данного уравнения состояния то уравнение, которое было справедливо в начале процесса, получаем
$\nu R (T - T_{0}) = Sx ( p_{0} + 2 \rho gl_{0})$,
откуда
$x = \frac{ \nu R (T - T_{0})}{S (p_{0} + 2 \rho gl_{0} ) } = \frac{p_{0}l_{0} }{ p_{0} + 2 \rho gl_{0} } \frac{T - T_{0} }{T_{0} }$.
Следовательно,
$p = p_{0} + 2 \rho gx = p_{0} + \frac{p_{0} \cdot 2 \rho gl_{0} }{p_{0} + 2 \rho gl_{0} } \frac{T - T_{0} }{T_{0} } = p_{0} \left ( 1 + \frac{2 \rho gl_{0} }{p_{0} + 2 \rho gl_{0} } \frac{T - T_{0} }{T_{0} } \right )$,
и
$\alpha = \frac{2 \rho gl_{0} }{p_{0} + 2 \rho gl_{0} }$.
Отсюда находим
$l_{0} = \frac{p_{0} }{2 \rho g ( \alpha^{-1} - 1 ) } = \frac{ \rho gh_{0} }{2 \rho g( \alpha^{-1} - 1 ) } = \frac{h_{0} }{2( \alpha^{-1} - 1 ) } = 380 мм$,
где $h_{0} = \frac{p_{0} }{ \rho g} = 760 мм$ - высота столба ртути, соответствующая данному в условии задачи значению атмосферного давления.
Один из концов $U$ - образной трубки постоянного сечения с налитой в нее ртутью наглухо закрыли. Воздух в закрытом конце трубки стали медленно нагревать, измеряя зависимость его давления $p$ от температуры $T$. Как оказалось, эта зависимость в начале нагревания приближенно является линейной: $p = p_{0} \left (1 + \alpha \left ( \frac{T}{T_{0}} - 1 \right ) \right )$, где $p_{0} = 760 мм рт. ст.$ - атмосферное давление, $T_{0}$ - температура окружающей среды коэффициент $\alpha = 0,5$. Найдите высоту столба воздуха в закрытом конце трубки в начале процесса.
Решение:
Запишем уравнение состояния воздуха в закрытом конце трубки в начале процесса:
$p_{0}Sl_{0} = \nu RT_{0}$,
где $S$ - площадь сечения трубки, $l_{0}$ - искомая высота воздушного столба, $\nu$ - число молей воздуха. Пусть при нагревании до температуры $T$ уровень ртути в открытом конце трубки поднялся на $x$, а в закрытом опустился на $x$. Тогда давление воздуха в закрытом конце трубки равно $p = p_{0} + 2 \rho gx$, объем равен $S(l_{0} + x)$, и уравнение состояния воздуха имеет вид
$\nu RT = (p_{0} + 2 \rho gx) S (l_{0} + x) = p_{0}Sl_{0} + Sx (p_{0} + 2 \rho gl_{0} ) + 2 \rho gSx^{2}$.
При малых $x$, в начале процесса нагревания, квадратичным слагаемым можно пренебречь, поэтому, вычитая из данного уравнения состояния то уравнение, которое было справедливо в начале процесса, получаем
$\nu R (T - T_{0}) = Sx ( p_{0} + 2 \rho gl_{0})$,
откуда
$x = \frac{ \nu R (T - T_{0})}{S (p_{0} + 2 \rho gl_{0} ) } = \frac{p_{0}l_{0} }{ p_{0} + 2 \rho gl_{0} } \frac{T - T_{0} }{T_{0} }$.
Следовательно,
$p = p_{0} + 2 \rho gx = p_{0} + \frac{p_{0} \cdot 2 \rho gl_{0} }{p_{0} + 2 \rho gl_{0} } \frac{T - T_{0} }{T_{0} } = p_{0} \left ( 1 + \frac{2 \rho gl_{0} }{p_{0} + 2 \rho gl_{0} } \frac{T - T_{0} }{T_{0} } \right )$,
и
$\alpha = \frac{2 \rho gl_{0} }{p_{0} + 2 \rho gl_{0} }$.
Отсюда находим
$l_{0} = \frac{p_{0} }{2 \rho g ( \alpha^{-1} - 1 ) } = \frac{ \rho gh_{0} }{2 \rho g( \alpha^{-1} - 1 ) } = \frac{h_{0} }{2( \alpha^{-1} - 1 ) } = 380 мм$,
где $h_{0} = \frac{p_{0} }{ \rho g} = 760 мм$ - высота столба ртути, соответствующая данному в условии задачи значению атмосферного давления.
