Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13312
2020-02-19 
Две одинаковые катушки соединены последовательно, параллельно одной из них подключен конденсатор, а к выводам цепи подсоединена батарейка напряжением $U$ (рис.). Найдите максимальное напряжение конденсатора. Элементы цепи считать идеальными.
Решение:
Обозначим ток нижней катушки через $I_{1}$, заряд конденсатора - через $Q$ (рис.). Тогда ток верхней катушки будет
$I_{2} = I + Q^{ \prime}$.
Для получившегося колебательного контура запишем
$LI_{2}^{ \prime} + \frac{Q}{C} = U, LI_{1}^{ \prime} = \frac{Q}{C}, LI_{1}^{ \prime} + LQ^{ \prime \prime} + \frac{Q}{C} = U$,
$Q^{ \prime \prime} + \frac{2}{LC} Q = \frac{U}{L}$.
Тут есть слагаемое в правой части последнего уравнения, но от него легко избавиться, чтобы получилось обычное уравнение гармонических колебаний. Для этого достаточно добавить к неизвестной величине постоянную:
$z(t) = Q (t) - \frac{CU}{2}, z^{ \prime \prime} + \frac{2}{LC} z = 0, z^{ \prime \prime} + \omega^{2}z = 0$.
Полученное уравнение решаем обычным способом, с учетом того, что сразу после подключения батарейки заряд конденсатора равен нулю, нулю равен и ток через конденсатор - его ограничивает верхняя катушка индуктивности. Находим окончательное выражение для заряда конденсатора:
$Q(t) = 0,5CU (1 - \cos \omega t)$,
откуда следует, что максимальное напряжение конденсатора равно напряжению батарейки.
Этот результат можно получить и намного быстрее -при помощи метода "эквивалентного источника". Заменим батарейку и две подключенные к ней катушки эквивалентным источником из батарейки половинного напряжения и последовательно с ней соединенной эквивалентной катушки индуктивностью $L/2$. Получается совсем простая схема - к батарейке подключен обычный последовательный $LC$-контур. В этом случае максимальный заряд, а значит и максимальное напряжение, конденсатора находится совсем просто.
Две одинаковые катушки соединены последовательно, параллельно одной из них подключен конденсатор, а к выводам цепи подсоединена батарейка напряжением $U$ (рис.). Найдите максимальное напряжение конденсатора. Элементы цепи считать идеальными.
Решение:
Обозначим ток нижней катушки через $I_{1}$, заряд конденсатора - через $Q$ (рис.). Тогда ток верхней катушки будет
$I_{2} = I + Q^{ \prime}$.
Для получившегося колебательного контура запишем
$LI_{2}^{ \prime} + \frac{Q}{C} = U, LI_{1}^{ \prime} = \frac{Q}{C}, LI_{1}^{ \prime} + LQ^{ \prime \prime} + \frac{Q}{C} = U$,
$Q^{ \prime \prime} + \frac{2}{LC} Q = \frac{U}{L}$.
Тут есть слагаемое в правой части последнего уравнения, но от него легко избавиться, чтобы получилось обычное уравнение гармонических колебаний. Для этого достаточно добавить к неизвестной величине постоянную:
$z(t) = Q (t) - \frac{CU}{2}, z^{ \prime \prime} + \frac{2}{LC} z = 0, z^{ \prime \prime} + \omega^{2}z = 0$.
Полученное уравнение решаем обычным способом, с учетом того, что сразу после подключения батарейки заряд конденсатора равен нулю, нулю равен и ток через конденсатор - его ограничивает верхняя катушка индуктивности. Находим окончательное выражение для заряда конденсатора:
$Q(t) = 0,5CU (1 - \cos \omega t)$,
откуда следует, что максимальное напряжение конденсатора равно напряжению батарейки.
Этот результат можно получить и намного быстрее -при помощи метода "эквивалентного источника". Заменим батарейку и две подключенные к ней катушки эквивалентным источником из батарейки половинного напряжения и последовательно с ней соединенной эквивалентной катушки индуктивностью $L/2$. Получается совсем простая схема - к батарейке подключен обычный последовательный $LC$-контур. В этом случае максимальный заряд, а значит и максимальное напряжение, конденсатора находится совсем просто.
