Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13310
2020-02-19 
На рисунке изображена известная бесконечная цепочка, состоящая из резисторов с одинаковыми сопротивлениями. Все знают, как посчитать ее сопротивление, измеренное между точками А и Б. А что если взять не бесконечную цепочку, а цепочку, состоящую ровно из 50 звеньев, - как посчитать ее сопротивление? Понятно, что сделать это "в лоб" трудно, проще считать цепь бесконечной... Какую погрешность мы при этом получим? Сильно ли сопротивление урезанной цепи отличается от сопротивления бесконечной цепочки? Зададим конкретный вопрос: эти отличия меньше миллионной доли процента или намного больше?
Решение:
Легко обычным способом посчитать сопротивление бесконечной цепочки:
$R_{б} = \frac{R ( \sqrt{5} - 1 ) }{2} \approx 1,618033999R$.
Сопротивление цепочки, которая содержит определенное число звеньев, несколько больше, при этом чем больше звеньев, тем оно ближе к указанному сопротивлению бесконечной цепочки. Конечно, считать "в лоб" сопротивление цепочки из 50 звеньев очень не хочется. Попробуем сделать проще. В условии задачи идет речь о миллионной доле процента, поэтому умножим сопротивление бесконечной цепочки на $(1 +1 \cdot 10^{-8} )$ - получится $1,618034R$. Будем последовательно увеличивать число звеньев цепочки и считать полученное сопротивление, надеясь на то, что нужный результат - меньше полученного выше - будет достигнут не слишком поздно...
Итак, для одного звена сопротивление равно $2R$, для двух звеньев будет $\frac{5R}{3} = 1,(6)R$. Далее получим $1,625R, 1,619048R, 1,61818R, 1,618055R, 1,618037R, 1,6180344R, 1,61803405R, 1,61803399R$ - уже при 10 звеньях получается почти такое же сопротивление, как у бесконечной цепи.
Как видно, увеличение числа звеньев быстро приводит к результату - достаточно даже 10 звеньев, а уж при указанных 50 разница между сопротивлениями урезанной цепи и бесконечной цепочки будет совершенно ничтожной.
Конечно, при другом соотношении сопротивлений резисторов звена результат может быть совершено иным. Так, при коэффициенте деления" больше 2 (например, при сопротивлениях $10R$ и $R$) результат будет достигнут намного раньше. А вот при меньшем <коэффициенте деления" все будет наоборот.
На рисунке изображена известная бесконечная цепочка, состоящая из резисторов с одинаковыми сопротивлениями. Все знают, как посчитать ее сопротивление, измеренное между точками А и Б. А что если взять не бесконечную цепочку, а цепочку, состоящую ровно из 50 звеньев, - как посчитать ее сопротивление? Понятно, что сделать это "в лоб" трудно, проще считать цепь бесконечной... Какую погрешность мы при этом получим? Сильно ли сопротивление урезанной цепи отличается от сопротивления бесконечной цепочки? Зададим конкретный вопрос: эти отличия меньше миллионной доли процента или намного больше?
Решение:
Легко обычным способом посчитать сопротивление бесконечной цепочки:
$R_{б} = \frac{R ( \sqrt{5} - 1 ) }{2} \approx 1,618033999R$.
Сопротивление цепочки, которая содержит определенное число звеньев, несколько больше, при этом чем больше звеньев, тем оно ближе к указанному сопротивлению бесконечной цепочки. Конечно, считать "в лоб" сопротивление цепочки из 50 звеньев очень не хочется. Попробуем сделать проще. В условии задачи идет речь о миллионной доле процента, поэтому умножим сопротивление бесконечной цепочки на $(1 +1 \cdot 10^{-8} )$ - получится $1,618034R$. Будем последовательно увеличивать число звеньев цепочки и считать полученное сопротивление, надеясь на то, что нужный результат - меньше полученного выше - будет достигнут не слишком поздно...
Итак, для одного звена сопротивление равно $2R$, для двух звеньев будет $\frac{5R}{3} = 1,(6)R$. Далее получим $1,625R, 1,619048R, 1,61818R, 1,618055R, 1,618037R, 1,6180344R, 1,61803405R, 1,61803399R$ - уже при 10 звеньях получается почти такое же сопротивление, как у бесконечной цепи.
Как видно, увеличение числа звеньев быстро приводит к результату - достаточно даже 10 звеньев, а уж при указанных 50 разница между сопротивлениями урезанной цепи и бесконечной цепочки будет совершенно ничтожной.
Конечно, при другом соотношении сопротивлений резисторов звена результат может быть совершено иным. Так, при коэффициенте деления" больше 2 (например, при сопротивлениях $10R$ и $R$) результат будет достигнут намного раньше. А вот при меньшем <коэффициенте деления" все будет наоборот.
