Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1331
2016-10-21 
Некто изготовил странную плосковыпуклую линзу. Радиус сферической поверхности $R$, угол $\alpha$ мал. Толщина линзы в любом месте много меньше её радиуса $r$. Что сделает линза с параллельным пучком света, падающим на неё, как показано на рисунке? Будет ли у неё фокус, и если да, то где? Показатель преломления стекла линзы равен $n$.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассматриваемая в условии необычная линза состоит из призмы и обычной плосковыпуклой линзы, разделённых плоской поверхностью. Введём систему координат следующим образом: ось Y расположим в плоскости, разделяющей призму и линзу, и направим её перпендикулярно ребру призмы; ось X направим от призмы перпендикулярно границе её раздела с линзой вдоль радиуса сферической поверхности. Далее задачу можно решать двумя способами.
1) Заметим, что лучи, падающие на поверхность призмы под некоторым углом $\alpha$ (так, как показано на рисунке в условии), внутри необычной линзы будут проходить параллельно плоскости XY под углом $\beta = \alpha(1 — (1/n))$ к оси X.
Рассмотрим далее параллельный пучок лучей, падающий на сферическую поверхность, разделяющую среды с показателями преломления $n$ и 1 (см. рис. 1). Пусть точка О — центр преломляющей сферической поверхности, ОА — луч, падающий нормально к этой поверхности, луч $O^{ \prime}A^{ \prime}$ проходит параллельно ОА на достаточно близком от ОА расстоянии и преломляется на сферической поверхности в точке $A^{ \prime}$. Преломлённый луч $A^{ \prime}F$ пересекает луч ОА в точке F, которая, очевидно, является фокусом данной сферической поверхности. Из закона преломления следуют следующие соотношения:
$\angle O^{ \prime}A^{ \prime}O = \angle B^{ \prime}A^{ \prime}B = \gamma, \angle B^{ \prime}A^{ \prime}F = n \gamma, \angle BA^{ \prime}F = \angle A^{ \prime}FA = (n-1)\gamma$.
Расстояние между лучами $O^{ \prime}A^{ \prime}$ и ОА равно $R \gamma$, с одной стороны, и $AF \cdot (n — 1) \gamma$, с другой. Поэтому
$AF = \frac{R}{n-1}; OF = R + AF = \frac{Rn}{n-1}$.
Если теперь рассмотреть параллельный пучок лучей, идущий под углом $\beta$ к оси X, то картинка на рисунке 1 целиком повернётся на угол $\beta$, и пучок соберётся в фокусе с координатами $\left ( \frac{R}{n-1}; \frac{Rn \beta}{n-1} \right )$. Поскольку $\beta = \alpha \frac{n-1}{n}$, окончательно находим координаты фокуса необычной линзы: $\left ( \frac{R}{n-1}; R \alpha \right )$.
2) Прохождение параллельного пучка лучей через рассматриваемую систему осуществляется в две стадии: прохождение через призму, а затем — через обычную линзу. Будем считать, что между призмой и этой линзой имеется тонкая воздушная прослойка (она, очевидно, не может никак влиять на работу оптической системы).
При прохождении через призму пучок лучей после выхода из неё в воздух поворачивается на угол $n \beta = \alpha (n — 1)$. Если теперь этот пучок попадёт из воздуха в линзу, то после прохождения через неё лучи соберутся в фокальной плоскости линзы в точке с координатами $(F; \alpha (n-1)F)$ — см. рисунок 2. Отсюда, учитывая, что $F = \frac{R}{n-1}$, получаем координаты фокуса системы, найденные выше.
Некто изготовил странную плосковыпуклую линзу. Радиус сферической поверхности $R$, угол $\alpha$ мал. Толщина линзы в любом месте много меньше её радиуса $r$. Что сделает линза с параллельным пучком света, падающим на неё, как показано на рисунке? Будет ли у неё фокус, и если да, то где? Показатель преломления стекла линзы равен $n$.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассматриваемая в условии необычная линза состоит из призмы и обычной плосковыпуклой линзы, разделённых плоской поверхностью. Введём систему координат следующим образом: ось Y расположим в плоскости, разделяющей призму и линзу, и направим её перпендикулярно ребру призмы; ось X направим от призмы перпендикулярно границе её раздела с линзой вдоль радиуса сферической поверхности. Далее задачу можно решать двумя способами.
1) Заметим, что лучи, падающие на поверхность призмы под некоторым углом $\alpha$ (так, как показано на рисунке в условии), внутри необычной линзы будут проходить параллельно плоскости XY под углом $\beta = \alpha(1 — (1/n))$ к оси X.
Рассмотрим далее параллельный пучок лучей, падающий на сферическую поверхность, разделяющую среды с показателями преломления $n$ и 1 (см. рис. 1). Пусть точка О — центр преломляющей сферической поверхности, ОА — луч, падающий нормально к этой поверхности, луч $O^{ \prime}A^{ \prime}$ проходит параллельно ОА на достаточно близком от ОА расстоянии и преломляется на сферической поверхности в точке $A^{ \prime}$. Преломлённый луч $A^{ \prime}F$ пересекает луч ОА в точке F, которая, очевидно, является фокусом данной сферической поверхности. Из закона преломления следуют следующие соотношения:
$\angle O^{ \prime}A^{ \prime}O = \angle B^{ \prime}A^{ \prime}B = \gamma, \angle B^{ \prime}A^{ \prime}F = n \gamma, \angle BA^{ \prime}F = \angle A^{ \prime}FA = (n-1)\gamma$.
Расстояние между лучами $O^{ \prime}A^{ \prime}$ и ОА равно $R \gamma$, с одной стороны, и $AF \cdot (n — 1) \gamma$, с другой. Поэтому
$AF = \frac{R}{n-1}; OF = R + AF = \frac{Rn}{n-1}$.
Если теперь рассмотреть параллельный пучок лучей, идущий под углом $\beta$ к оси X, то картинка на рисунке 1 целиком повернётся на угол $\beta$, и пучок соберётся в фокусе с координатами $\left ( \frac{R}{n-1}; \frac{Rn \beta}{n-1} \right )$. Поскольку $\beta = \alpha \frac{n-1}{n}$, окончательно находим координаты фокуса необычной линзы: $\left ( \frac{R}{n-1}; R \alpha \right )$.
2) Прохождение параллельного пучка лучей через рассматриваемую систему осуществляется в две стадии: прохождение через призму, а затем — через обычную линзу. Будем считать, что между призмой и этой линзой имеется тонкая воздушная прослойка (она, очевидно, не может никак влиять на работу оптической системы).
При прохождении через призму пучок лучей после выхода из неё в воздух поворачивается на угол $n \beta = \alpha (n — 1)$. Если теперь этот пучок попадёт из воздуха в линзу, то после прохождения через неё лучи соберутся в фокальной плоскости линзы в точке с координатами $(F; \alpha (n-1)F)$ — см. рисунок 2. Отсюда, учитывая, что $F = \frac{R}{n-1}$, получаем координаты фокуса системы, найденные выше.
