Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13307
2020-02-19 
Лампа дневного света включена в сеть 220 В, 50 Гц последовательно с катушкой индуктивности, причем в горящем состоянии напряжение на катушке в 3 раза больше напряжения на лампе. Во сколько раз можно увеличить "косинус фи" такой цепи, включив параллельно в сеть конденсатор? Как выбрать емкость такого конденсатора?
Решение:
В исходной схеме тангенс угла сдвига фаз между напряжением и током цепи (катушка и лампа, соединенные последовательно) равен 3 - лампу можно считать обычным резистором, сопротивление которого в 3 раза меньше индуктивного сопротивления катушки на частоте сети. Тогда косинус угла сдвига фаз в этой цепи равен $\cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{10} } \approx 0,32$. Эту величину можно довести до 1, подобрав емкость параллельно подключенного конденсатора - его ток может скомпенсировать перпендикулярную составляющую тока цепи катушка-лампа. Таким образом можно увеличить "косинус фи" примерно в 3 раза.
Разумеется, мы хотим увеличить не просто тригонометрическую величину $\cos \phi$, исходная цепь потребляет от сети лишнюю мощность - максимальное значение потребляемой мощности существенно превышает среднее значение, а сеть должна выдерживать именно максимальное значение. Да и потери в сопротивлении проводов получаются больше, чем надо.
Для нахождения емкости конденсатора удобно нарисовать векторную диаграмму (или провести расчет с комплексными числами). Изобразим ток через катушку (и через лампу) $I_{L}$ горизонтальным отрезком (красный вектор на рисунке). Напряжение катушки опережает ток на $90^{ \circ}$, напряжение резистора совпадает с током по фазе. Черным нарисованы векторы, изображающие напряжения резистора (лампы), катушки и суммарное напряжение - это и есть напряжение сети. На этой же диаграмме нарисован вектор $I_{C}$ (красный) - он изображает ток конденсатора, который опережает на $90^{ \circ}$ напряжение сети. Нам нужно сделать равной нулю величину проекции суммарного тока на перпендикулярное вектору напряжения сети направление, для этого нужно выполнить условие
$I_{C} = I_{L} \sin \phi$.
Обозначим напряжение сети $U$ (мы можем всюду писать условия для амплитудных величин, а можем и для действующих, пусть это будут амплитуды - для определенности). Тогда получим
$U \omega C = \frac{U}{ \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } } \sin \phi$, или $\omega^{2}LC = \frac{9}{10}$.
Отсюда для индуктивности катушки, например, 2 Гн найдем
$C \approx 4,6 мкФ$.
Такие конденсаторы часто включают параллельно лампам дневного света, причем один конденсатор (разумеется, с пересчетом емкости) можно использовать с несколькими лампами.
Лампа дневного света включена в сеть 220 В, 50 Гц последовательно с катушкой индуктивности, причем в горящем состоянии напряжение на катушке в 3 раза больше напряжения на лампе. Во сколько раз можно увеличить "косинус фи" такой цепи, включив параллельно в сеть конденсатор? Как выбрать емкость такого конденсатора?
Решение:
В исходной схеме тангенс угла сдвига фаз между напряжением и током цепи (катушка и лампа, соединенные последовательно) равен 3 - лампу можно считать обычным резистором, сопротивление которого в 3 раза меньше индуктивного сопротивления катушки на частоте сети. Тогда косинус угла сдвига фаз в этой цепи равен $\cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{10} } \approx 0,32$. Эту величину можно довести до 1, подобрав емкость параллельно подключенного конденсатора - его ток может скомпенсировать перпендикулярную составляющую тока цепи катушка-лампа. Таким образом можно увеличить "косинус фи" примерно в 3 раза.
Разумеется, мы хотим увеличить не просто тригонометрическую величину $\cos \phi$, исходная цепь потребляет от сети лишнюю мощность - максимальное значение потребляемой мощности существенно превышает среднее значение, а сеть должна выдерживать именно максимальное значение. Да и потери в сопротивлении проводов получаются больше, чем надо.
Для нахождения емкости конденсатора удобно нарисовать векторную диаграмму (или провести расчет с комплексными числами). Изобразим ток через катушку (и через лампу) $I_{L}$ горизонтальным отрезком (красный вектор на рисунке). Напряжение катушки опережает ток на $90^{ \circ}$, напряжение резистора совпадает с током по фазе. Черным нарисованы векторы, изображающие напряжения резистора (лампы), катушки и суммарное напряжение - это и есть напряжение сети. На этой же диаграмме нарисован вектор $I_{C}$ (красный) - он изображает ток конденсатора, который опережает на $90^{ \circ}$ напряжение сети. Нам нужно сделать равной нулю величину проекции суммарного тока на перпендикулярное вектору напряжения сети направление, для этого нужно выполнить условие
$I_{C} = I_{L} \sin \phi$.
Обозначим напряжение сети $U$ (мы можем всюду писать условия для амплитудных величин, а можем и для действующих, пусть это будут амплитуды - для определенности). Тогда получим
$U \omega C = \frac{U}{ \sqrt{R^{2} + \omega^{2}L^{2} } } \sin \phi$, или $\omega^{2}LC = \frac{9}{10}$.
Отсюда для индуктивности катушки, например, 2 Гн найдем
$C \approx 4,6 мкФ$.
Такие конденсаторы часто включают параллельно лампам дневного света, причем один конденсатор (разумеется, с пересчетом емкости) можно использовать с несколькими лампами.
