Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13306
2020-02-19 
К выводам катушки индуктивностью $L = 2 Гн$ подключают заряженный конденсатор емкостью $C = 100 мкФ$, начальное напряжение конденсатора $U_{0} = 100 В$. Напряжение конденсатора начинает уменьшаться, и в тот момент, когда оно падает до половины начального значения, параллельно подключают еще один такой же конденсатор и еще одну такую же катушку (все четыре элемента оказываются соединенными параллельно). Найдите максимальное значение тока через вторую катушку. Сопротивление соединяющих элементы проводников довольно мало. Катушки и конденсаторы считать идеальными.
Решение:
Ток $I_{0}$ через первую катушку перед подключением других элементов найдем из закона сохранения энергии:
$\frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{C \left ( \frac{U_{0}}{2} \right )^{2}}{2} + \frac{LI_{0}^{2} }{2}, I_{0} = \sqrt{ \frac{3CU_{0}^{2} }{4L} } \approx 0,61 A$.
Сразу после подключения еще одной катушки и дополнительного конденсатора токи катушек не изменятся, а напряжение конденсаторов быстро (это время определяется их емкостями и малым сопротивлением проводов) уменьшится вдвое - будем считать для простоты, что это произойдет мгновенно. Тогда энергия системы сразу после подключения дополнительных элементов составит
$2 \frac{C \left ( \frac{U_{0} }{4} \right )^{2} }{2} + \frac{LI_{0}^{2}}{2} = \frac{7CU_{0}^{2}}{16}$.
В тот момент, когда ток $I$ второй катушки будет максимальным, ЭДС индукции обратится в ноль, энергии конденсаторов будут нулевыми, и энергия системы будет равна суммарной энергии магнитного поля катушек. За небольшое время (меньше периода колебаний в системе) в тепло перейдет малая часть общей энергии, будем считать для простоты, что энергия в тепло вообще не переходит. Полный магнитный поток катушек не меняется ("сверхпроводящий" контур из двух катушек), изменения токов катушек при этом одинаковы, и ток первой катушки будет равен $I_{0} - I$. Еще раз запишем закон сохранения энергии:
$\frac{7}{16} CU_{0}^{2} = \frac{L(I_{0} - I )^{2} }{2} + \frac{LI^{2} }{2}$.
Получим квадратное уравнение относительно $I$:
$I^{2} - \sqrt{ \frac{3CU_{0}^{2} }{4L} } I - \frac{1}{16} \frac{CU_{0}^{2} }{L} = 0$.
У этого уравнения два корня, один из них соответствует минимуму, другой максимуму. Максимальный ток через вторую катушку равен
$I_{max} = I_{0} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \sqrt{3} } \right ) \approx 0,66 А$.
К выводам катушки индуктивностью $L = 2 Гн$ подключают заряженный конденсатор емкостью $C = 100 мкФ$, начальное напряжение конденсатора $U_{0} = 100 В$. Напряжение конденсатора начинает уменьшаться, и в тот момент, когда оно падает до половины начального значения, параллельно подключают еще один такой же конденсатор и еще одну такую же катушку (все четыре элемента оказываются соединенными параллельно). Найдите максимальное значение тока через вторую катушку. Сопротивление соединяющих элементы проводников довольно мало. Катушки и конденсаторы считать идеальными.
Решение:
Ток $I_{0}$ через первую катушку перед подключением других элементов найдем из закона сохранения энергии:
$\frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{C \left ( \frac{U_{0}}{2} \right )^{2}}{2} + \frac{LI_{0}^{2} }{2}, I_{0} = \sqrt{ \frac{3CU_{0}^{2} }{4L} } \approx 0,61 A$.
Сразу после подключения еще одной катушки и дополнительного конденсатора токи катушек не изменятся, а напряжение конденсаторов быстро (это время определяется их емкостями и малым сопротивлением проводов) уменьшится вдвое - будем считать для простоты, что это произойдет мгновенно. Тогда энергия системы сразу после подключения дополнительных элементов составит
$2 \frac{C \left ( \frac{U_{0} }{4} \right )^{2} }{2} + \frac{LI_{0}^{2}}{2} = \frac{7CU_{0}^{2}}{16}$.
В тот момент, когда ток $I$ второй катушки будет максимальным, ЭДС индукции обратится в ноль, энергии конденсаторов будут нулевыми, и энергия системы будет равна суммарной энергии магнитного поля катушек. За небольшое время (меньше периода колебаний в системе) в тепло перейдет малая часть общей энергии, будем считать для простоты, что энергия в тепло вообще не переходит. Полный магнитный поток катушек не меняется ("сверхпроводящий" контур из двух катушек), изменения токов катушек при этом одинаковы, и ток первой катушки будет равен $I_{0} - I$. Еще раз запишем закон сохранения энергии:
$\frac{7}{16} CU_{0}^{2} = \frac{L(I_{0} - I )^{2} }{2} + \frac{LI^{2} }{2}$.
Получим квадратное уравнение относительно $I$:
$I^{2} - \sqrt{ \frac{3CU_{0}^{2} }{4L} } I - \frac{1}{16} \frac{CU_{0}^{2} }{L} = 0$.
У этого уравнения два корня, один из них соответствует минимуму, другой максимуму. Максимальный ток через вторую катушку равен
$I_{max} = I_{0} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \sqrt{3} } \right ) \approx 0,66 А$.
