Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13290
2020-02-17 
Легкая нить намотана множеством витков на гладкую неподвижно закрепленную катушку радиусом $R$ (рис.). На свободном конце нити закреплен маленький шарик массой $m$, другой конец нити начинают вытягивать через отверстие в катушке, постепенно увеличивая скорость вдоль поверхности катушки до величины $v$. В результате через большое время движение шарика устанавливается. Найдите скорость установившегося движения шарика и радиус траектории его движения. Сила тяжести отсутствует, сила трения шарика о воздух пропорциональна его скорости: $F_{тр} = ku$.
Решение:
При вытягивании нити шарик оторвется от катушки, поскольку нет сил, которые обеспечивали бы его движение по дуге окружности радиусом $R$. Под действием окружающей среды шарик займет равновесное положение на некоторой орбите радиусом $r$, имея скорость $u$ (рис.). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направления вдоль этого радиуса и перпендикулярно ему:
$m \frac{u^{2}}{r} = F \cos \alpha, 0 = F \sin \alpha - ku$,
где $F$ - сила натяжение нити. Учитывая следующие соотношения:
$v = u \sin \alpha, R = r \sin \alpha$,
получаем
$tg \alpha = \frac{kR}{mv}$,
откуда
$\sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{tg^{2} \alpha } } } = \frac{1}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{mv}{kR} \right )^{2} } }$
В итоге находим искомые скорость шарика $u$ и радиус траектории $r$:
$u = \frac{v}{ \sin \alpha} = v \sqrt{1 + \left ( \frac{mv}{kR} \right )^{2} }, r = \frac{R}{ \sin \alpha } = R \sqrt{1 + \left ( \frac{mv}{kR} \right )^{2} }$
Легкая нить намотана множеством витков на гладкую неподвижно закрепленную катушку радиусом $R$ (рис.). На свободном конце нити закреплен маленький шарик массой $m$, другой конец нити начинают вытягивать через отверстие в катушке, постепенно увеличивая скорость вдоль поверхности катушки до величины $v$. В результате через большое время движение шарика устанавливается. Найдите скорость установившегося движения шарика и радиус траектории его движения. Сила тяжести отсутствует, сила трения шарика о воздух пропорциональна его скорости: $F_{тр} = ku$.
Решение:
При вытягивании нити шарик оторвется от катушки, поскольку нет сил, которые обеспечивали бы его движение по дуге окружности радиусом $R$. Под действием окружающей среды шарик займет равновесное положение на некоторой орбите радиусом $r$, имея скорость $u$ (рис.). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направления вдоль этого радиуса и перпендикулярно ему:
$m \frac{u^{2}}{r} = F \cos \alpha, 0 = F \sin \alpha - ku$,
где $F$ - сила натяжение нити. Учитывая следующие соотношения:
$v = u \sin \alpha, R = r \sin \alpha$,
получаем
$tg \alpha = \frac{kR}{mv}$,
откуда
$\sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{tg^{2} \alpha } } } = \frac{1}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{mv}{kR} \right )^{2} } }$
В итоге находим искомые скорость шарика $u$ и радиус траектории $r$:
$u = \frac{v}{ \sin \alpha} = v \sqrt{1 + \left ( \frac{mv}{kR} \right )^{2} }, r = \frac{R}{ \sin \alpha } = R \sqrt{1 + \left ( \frac{mv}{kR} \right )^{2} }$
