Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13288
2020-02-17 
Генератор незатухающих колебаний собран по обычной "ламповой" схеме - потери в колебательном $LC$-контуре компенсируются подкачкой энергии через дополнительную катушку, включенную в анодную цепь лампы-триода. Частота колебаний перестраивается за счет изменения емкости конденсатора, включенного в контур (настройка при помощи конденсатора переменной емкости). Генератор работает на заданной частоте, но его настроили неправильно - если мы хотя бы немного уменьшим подкачку энергии (например, уменьшим число витков вспомогательной катушки на один виток), колебания просто не возникнут. Перестоим частоту колебаний на 5%, уменьшив емкость конденсатора. Как нужно изменить число витков вспомогательной катушки, чтобы генератор мог работать на этой частоте? Считайте, что потери энергии в колебательном контуре связаны главным образом с сопротивлением провода, которым намотана катушка индуктивности. Упрощенная схема генератора приведена на рисунке.
Решение:
Запишем уравнение для собственных колебаний в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности, конденсатора и резистора малого сопротивления:
$LI^{ \prime} + rI + \frac{1}{C}q = 0$, или $q^{ \prime \prime} + \frac{r}{q}q^{ \prime} + \frac{1}{LC}q = 0$.
Для получения незатухающих колебаний второе слагаемое нужно скомпенсировать, "включив" в контур дополнительную ЭДС. В приведенной схеме генератора это достигается при помощи катушки, включенной в анодную цепь лампы: $\mathcal{E}_{доп} = - MI_{a}^{ \prime}$, где $M$ - коэффициент взаимной индукции катушек, $I_{a}$ - анодный ток. Впрочем, можно этого и не знать - нужно только записать для "дополнительного" магнитного поля соотношение $B \sim n_{2}I_{a}$, где $n_{2}$ - число витков вспомогательной катушки. Тогда
$B = k_{1}n_{2} \left ( I_{0} + S \frac{q}{C} \right )$, и $\mathcal{E}_{доп} \sim - B^{ \prime} = - k_{2}n_{2} \frac{S}{C}q^{ \prime}$.
Здесь $I_{0}$ - начальный анодный ток (при нулевом напряжении между сеткой и катодом), $S$ - крутизна вольт-амперной характеристики лампы, коэффициент $k_{2}$ включает и площадь витка основной катушки, и число ее витков, и еще некоторые геометрические характеристики контура, которые в нашем случае не изменяются. Окончательно получим
$k_{2}n_{2} \frac{S}{C} q^{ \prime} = \frac{r}{L} q^{ \prime}$, или $n_{2} = \frac{rC}{L} \frac{1}{k_{3} }$.
Для увеличения частоты генератора на 5% емкость придется уменьшить примерно на 10%. Для сохранения прежнего условия возникновения колебаний в генераторе следовало бы уменьшить примерно на 10% число витков вспомогательной катушки, но этого можно не делать - колебания возникнут и при прежнем числе витков. При этом увеличится амплитуда колебаний (должна была бы измениться и форма "выходного сигнала", но благодаря контуру колебания останутся "почти" гармоническими). Отсюда следует, что, изменяя частоту генератора, не обязательно "перематывать" катушку.
Генератор незатухающих колебаний собран по обычной "ламповой" схеме - потери в колебательном $LC$-контуре компенсируются подкачкой энергии через дополнительную катушку, включенную в анодную цепь лампы-триода. Частота колебаний перестраивается за счет изменения емкости конденсатора, включенного в контур (настройка при помощи конденсатора переменной емкости). Генератор работает на заданной частоте, но его настроили неправильно - если мы хотя бы немного уменьшим подкачку энергии (например, уменьшим число витков вспомогательной катушки на один виток), колебания просто не возникнут. Перестоим частоту колебаний на 5%, уменьшив емкость конденсатора. Как нужно изменить число витков вспомогательной катушки, чтобы генератор мог работать на этой частоте? Считайте, что потери энергии в колебательном контуре связаны главным образом с сопротивлением провода, которым намотана катушка индуктивности. Упрощенная схема генератора приведена на рисунке.
Решение:
Запишем уравнение для собственных колебаний в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности, конденсатора и резистора малого сопротивления:
$LI^{ \prime} + rI + \frac{1}{C}q = 0$, или $q^{ \prime \prime} + \frac{r}{q}q^{ \prime} + \frac{1}{LC}q = 0$.
Для получения незатухающих колебаний второе слагаемое нужно скомпенсировать, "включив" в контур дополнительную ЭДС. В приведенной схеме генератора это достигается при помощи катушки, включенной в анодную цепь лампы: $\mathcal{E}_{доп} = - MI_{a}^{ \prime}$, где $M$ - коэффициент взаимной индукции катушек, $I_{a}$ - анодный ток. Впрочем, можно этого и не знать - нужно только записать для "дополнительного" магнитного поля соотношение $B \sim n_{2}I_{a}$, где $n_{2}$ - число витков вспомогательной катушки. Тогда
$B = k_{1}n_{2} \left ( I_{0} + S \frac{q}{C} \right )$, и $\mathcal{E}_{доп} \sim - B^{ \prime} = - k_{2}n_{2} \frac{S}{C}q^{ \prime}$.
Здесь $I_{0}$ - начальный анодный ток (при нулевом напряжении между сеткой и катодом), $S$ - крутизна вольт-амперной характеристики лампы, коэффициент $k_{2}$ включает и площадь витка основной катушки, и число ее витков, и еще некоторые геометрические характеристики контура, которые в нашем случае не изменяются. Окончательно получим
$k_{2}n_{2} \frac{S}{C} q^{ \prime} = \frac{r}{L} q^{ \prime}$, или $n_{2} = \frac{rC}{L} \frac{1}{k_{3} }$.
Для увеличения частоты генератора на 5% емкость придется уменьшить примерно на 10%. Для сохранения прежнего условия возникновения колебаний в генераторе следовало бы уменьшить примерно на 10% число витков вспомогательной катушки, но этого можно не делать - колебания возникнут и при прежнем числе витков. При этом увеличится амплитуда колебаний (должна была бы измениться и форма "выходного сигнала", но благодаря контуру колебания останутся "почти" гармоническими). Отсюда следует, что, изменяя частоту генератора, не обязательно "перематывать" катушку.
