Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13286
2020-02-17 
На длинном тонкостенном диэлектрическом цилиндре радиусом $R$, длинной $L \gg R$ и массой $M$ размещен электрический заряд с одинаковой поверхностной плотностью $\sigma$. Цилиндр может свободно (без трения) вращаться вокруг своей оси под действием груза массой $m$, подвешенного на невесомой нити, намотанной на цилиндр (см. рисунок). Определите ускорение груза. Магнитную постоянную $\mu_{0}$ считать заданной.
Решение:
При вращении цилиндра возникает круговой ток, создающий магнитное поле внутри цилиндра. Полная сила тока, текущего по поверхности цилиндра, равна $I = \sigma vL$, где $v$ - линейная скорость зарядов. Ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, равен $i = \frac{I}{L} = \sigma v$. Магнитное поле $B$ внутри цилиндра совпадает с магнитным полем длинной катушки:
$B = \frac{ \mu_{0}I }{L} = \mu_{0} \sigma v$.
Плотность магнитной энергии равна $w_{м} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} = \frac{ \mu_{0} \sigma^{2} v^{2}}{2}$. Тогда полная энергия магнитного поля составляет
$W_{м} = w_{м} \cdot \pi R^{2} L = \frac{kv^{2} }{2}$, где $k = \pi \mu_{0} \sigma^{2}R^{2}L$.
Суммарная кинетическая энергия вращающегося цилиндра и движущегося груза равна
$W_{к} = \frac{(m + M) v^{2}}{2}$.
Если координатную ось $X$ направить вниз, то потенциальную энергию груза можно представить в виде
$W_{п} = - mgx + const$.
Запишем теперь закон сохранения энергии, включая механическую энергию цилиндра и груза и энергию магнитного поля внутри цилиндра:
$W_{к} + W_{п} + W_{м} = const$,
или
$(m + M + k) \frac{v^{2} }{2} - mgx = const$.
Продифференцировав это уравнение по времени, принимая во внимание, что $v = \frac{dx}{dt}$ и $a = \frac{dv}{dt}$, найдем искомое ускорение:
$a = \frac{mg}{m + M + k } = \frac{mg}{m + M + \pi \mu_{0} \sigma^{2}R^{2}L }$.
На длинном тонкостенном диэлектрическом цилиндре радиусом $R$, длинной $L \gg R$ и массой $M$ размещен электрический заряд с одинаковой поверхностной плотностью $\sigma$. Цилиндр может свободно (без трения) вращаться вокруг своей оси под действием груза массой $m$, подвешенного на невесомой нити, намотанной на цилиндр (см. рисунок). Определите ускорение груза. Магнитную постоянную $\mu_{0}$ считать заданной.
Решение:
При вращении цилиндра возникает круговой ток, создающий магнитное поле внутри цилиндра. Полная сила тока, текущего по поверхности цилиндра, равна $I = \sigma vL$, где $v$ - линейная скорость зарядов. Ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, равен $i = \frac{I}{L} = \sigma v$. Магнитное поле $B$ внутри цилиндра совпадает с магнитным полем длинной катушки:
$B = \frac{ \mu_{0}I }{L} = \mu_{0} \sigma v$.
Плотность магнитной энергии равна $w_{м} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} = \frac{ \mu_{0} \sigma^{2} v^{2}}{2}$. Тогда полная энергия магнитного поля составляет
$W_{м} = w_{м} \cdot \pi R^{2} L = \frac{kv^{2} }{2}$, где $k = \pi \mu_{0} \sigma^{2}R^{2}L$.
Суммарная кинетическая энергия вращающегося цилиндра и движущегося груза равна
$W_{к} = \frac{(m + M) v^{2}}{2}$.
Если координатную ось $X$ направить вниз, то потенциальную энергию груза можно представить в виде
$W_{п} = - mgx + const$.
Запишем теперь закон сохранения энергии, включая механическую энергию цилиндра и груза и энергию магнитного поля внутри цилиндра:
$W_{к} + W_{п} + W_{м} = const$,
или
$(m + M + k) \frac{v^{2} }{2} - mgx = const$.
Продифференцировав это уравнение по времени, принимая во внимание, что $v = \frac{dx}{dt}$ и $a = \frac{dv}{dt}$, найдем искомое ускорение:
$a = \frac{mg}{m + M + k } = \frac{mg}{m + M + \pi \mu_{0} \sigma^{2}R^{2}L }$.
