Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13283
2020-02-17 
Школьник исследует резонанс в последовательном колебательном контуре, используя генератор звуковой частоты и высокоомный вольтметр переменного напряжения. Конденсатор имеет емкость 0,5 мкФ, индуктивность катушки равна 0,1 Гн. Сопротивление провода, которым намотана катушка, составляет 50 Ом. Вольтметр подключают параллельно конденсатору и изменяют частоту генератора. На какой частоте показания вольтметра будут максимальными? На какой частоте вольтметр покажет максимум, если подключить его к выводам катушки?
Решение:
Воспользуемся преставлением токов и напряжений в цепи переменного тока в виде комплексных чисел. В этом случае емкостное сопротивление конденсатора на частоте $\omega$ составляет $X_{C} = \frac{1}{i \omega C}$, индуктивное сопротивление идеальной катушки равно $X_{L} = i \omega L$ и полное сопротивление контура с учетом активного сопротивления катушки $R$ составляет $Z = X_{C} + X_{L} + R$. Ток в цепи равен $I = \frac{U}{Z}$, а вольтметр, подключенный параллельно конденсатору, показывает
$U_{1} = IX_{C} = \frac{U}{1 + \frac{X_{L} }{X_{C} } + \frac{R}{X_{C} } } = \frac{U}{1 - \omega^{2}LC + R i \omega C }$.
После перехода к модулю полученной величины показания вольтметра можно записать в виде
$U_{1} = \frac{U}{ \sqrt{ (1 - \omega^{2}LC )^{2} + (R \omega C)^{2} } }$.
Проще исследовать обратную функцию на минимум, попутно избавившись от корня квадратного и постоянного множителя. Нас интересует значение частоты, при котором функция $(1 - \omega^{2}LC)^{2} + (R \omega C)^{2}$ имеет минимальное значение, причем частота эта должна быть немного ниже резонансной частоты идеального контура
$\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} } = 4472 c^{-1}$.
Почему ниже? Ток в цепи максимален на "идеальной" частоте, на которой для последовательного контура емкостное и индуктивное сопротивления точно компенсируют друг друга, а напряжение вольтметра определяется произведением этого тока на емкостное сопротивление конденсатора, убывающее с ростом частоты. Возьмем производную нашей функции по частоте, приравняем ее нулю и получим значение резонансной частоты $\omega_{1}$:
$\frac{d (( \omega_{1}^{2}LC - 1)^{2} + R^{2} \omega_{1}^{2}C^{2})}{d \omega_{1} } = 0$,
откуда
$\omega_{1} = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 + \frac{R^{2}C }{2L} }}$.
Эта частота примерно в 1,006 раз меньше резонансной частоты контура без потерь.
Совершенно аналогично проводится расчет для вольтметра, подключенного параллельно к катушке (точнее - к катушке индуктивности, соединенной последовательно с резистором сопротивлением $R$; согласно условию задачи, этот резистор находится "внутри" катушки"). В этом случае ответ получается чуть больше частоты $\omega_{0}$ - практически в те же 1,006 раз.
Интересно упомянуть, что при исследовании обычного дифференциального уравнения контура с потерями получается, что резонанс будет именно на пониженной частоте. Это недоразумение. Дело в том, что такое уравнение пишется для величины $q$ - заряда конденсатора, что соответствует первому из рассмотренных нами случаев (вольтметр при этом показывает напряжение $U = \frac{q}{C}$).
Школьник исследует резонанс в последовательном колебательном контуре, используя генератор звуковой частоты и высокоомный вольтметр переменного напряжения. Конденсатор имеет емкость 0,5 мкФ, индуктивность катушки равна 0,1 Гн. Сопротивление провода, которым намотана катушка, составляет 50 Ом. Вольтметр подключают параллельно конденсатору и изменяют частоту генератора. На какой частоте показания вольтметра будут максимальными? На какой частоте вольтметр покажет максимум, если подключить его к выводам катушки?
Решение:
Воспользуемся преставлением токов и напряжений в цепи переменного тока в виде комплексных чисел. В этом случае емкостное сопротивление конденсатора на частоте $\omega$ составляет $X_{C} = \frac{1}{i \omega C}$, индуктивное сопротивление идеальной катушки равно $X_{L} = i \omega L$ и полное сопротивление контура с учетом активного сопротивления катушки $R$ составляет $Z = X_{C} + X_{L} + R$. Ток в цепи равен $I = \frac{U}{Z}$, а вольтметр, подключенный параллельно конденсатору, показывает
$U_{1} = IX_{C} = \frac{U}{1 + \frac{X_{L} }{X_{C} } + \frac{R}{X_{C} } } = \frac{U}{1 - \omega^{2}LC + R i \omega C }$.
После перехода к модулю полученной величины показания вольтметра можно записать в виде
$U_{1} = \frac{U}{ \sqrt{ (1 - \omega^{2}LC )^{2} + (R \omega C)^{2} } }$.
Проще исследовать обратную функцию на минимум, попутно избавившись от корня квадратного и постоянного множителя. Нас интересует значение частоты, при котором функция $(1 - \omega^{2}LC)^{2} + (R \omega C)^{2}$ имеет минимальное значение, причем частота эта должна быть немного ниже резонансной частоты идеального контура
$\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} } = 4472 c^{-1}$.
Почему ниже? Ток в цепи максимален на "идеальной" частоте, на которой для последовательного контура емкостное и индуктивное сопротивления точно компенсируют друг друга, а напряжение вольтметра определяется произведением этого тока на емкостное сопротивление конденсатора, убывающее с ростом частоты. Возьмем производную нашей функции по частоте, приравняем ее нулю и получим значение резонансной частоты $\omega_{1}$:
$\frac{d (( \omega_{1}^{2}LC - 1)^{2} + R^{2} \omega_{1}^{2}C^{2})}{d \omega_{1} } = 0$,
откуда
$\omega_{1} = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 + \frac{R^{2}C }{2L} }}$.
Эта частота примерно в 1,006 раз меньше резонансной частоты контура без потерь.
Совершенно аналогично проводится расчет для вольтметра, подключенного параллельно к катушке (точнее - к катушке индуктивности, соединенной последовательно с резистором сопротивлением $R$; согласно условию задачи, этот резистор находится "внутри" катушки"). В этом случае ответ получается чуть больше частоты $\omega_{0}$ - практически в те же 1,006 раз.
Интересно упомянуть, что при исследовании обычного дифференциального уравнения контура с потерями получается, что резонанс будет именно на пониженной частоте. Это недоразумение. Дело в том, что такое уравнение пишется для величины $q$ - заряда конденсатора, что соответствует первому из рассмотренных нами случаев (вольтметр при этом показывает напряжение $U = \frac{q}{C}$).
