Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13279
2020-02-17 
Катушка индуктивностью $L$ и резистор сопротивлением $R$ соединены параллельно, к выводам цепочки очень давно подключен внешний источник, ток в его цепи равен $I_{0}$. Ток в цепи источника очень быстро увеличивают в 3 раза. Какое количество теплоты выделится в резисторе после этого? Какой полный заряд протечет через резистор?
Решение:
Ток через катушку перед изменением тока внешней цепи примем равным $I_{0}$ - источник был подключен очень давно и ток через катушку уже установился. Сразу после увеличения тока в цепи источника до $3I_{0}$ ток через катушку остался прежним, а затем начал понемногу увеличиваться - через достаточно большое время он возрастет до 3Io . Напряжение на резисторе равно ЭДС индукции катушки, поэтому, обозначив $J$ - ток катушки и $I$ - ток через резистор в этот же момент, для малого интервала времени $\Delta t$ получим
$-L \frac{ \Delta J}{ \Delta t} = RI$.
Перепишем чуть иначе:
$-L \Delta J = RI \Delta t = R \Delta q$,
где $\Delta q$ - "порция" заряда, протекшего через резистор за указанный малый интервал времени. Суммируя за большое время, получим слева полное изменение магнитного потока через катушку, а справа - суммарный заряд, протекший через резистор:
$q_{R} = 2LI_{0}$
(куда течет заряд через резистор - понятно, на знак полученного выражения можно внимания не обращать).
Ответ на первый вопрос чуть сложнее. Сумма токов через катушку и резистор остается постоянной и равной $3I_{0}$. Тогда запишем
$-L \frac{ \Delta J}{ \Delta t} = -L \frac{ \Delta (3I_{0} - I)}{ \Delta t} = RI$,
или
$L \Delta (2I_{0} - I ) = RI \Delta t$.
Домножим обе части уравнения на $I$, чтобы после суммирования получить справа полное количество теплоты $Q$, выделившееся за большое время в резисторе:
$-LI \Delta (3I_{0} - I) = RI^{2} \Delta t$.
Разобьем левую часть на два слагаемых и просуммируем за большое время:
$Q = - \sum LI \Delta (3I_{0}) + \sum LI \Delta (I) = 0 + \Delta \left ( \frac{LI^{2} }{2} \right ) = \frac{L(3I_{0} )^{2} }{2} - \frac{LI_{0}^{2} }{2} = 4LI_{0}^{2}$.
Катушка индуктивностью $L$ и резистор сопротивлением $R$ соединены параллельно, к выводам цепочки очень давно подключен внешний источник, ток в его цепи равен $I_{0}$. Ток в цепи источника очень быстро увеличивают в 3 раза. Какое количество теплоты выделится в резисторе после этого? Какой полный заряд протечет через резистор?
Решение:
Ток через катушку перед изменением тока внешней цепи примем равным $I_{0}$ - источник был подключен очень давно и ток через катушку уже установился. Сразу после увеличения тока в цепи источника до $3I_{0}$ ток через катушку остался прежним, а затем начал понемногу увеличиваться - через достаточно большое время он возрастет до 3Io . Напряжение на резисторе равно ЭДС индукции катушки, поэтому, обозначив $J$ - ток катушки и $I$ - ток через резистор в этот же момент, для малого интервала времени $\Delta t$ получим
$-L \frac{ \Delta J}{ \Delta t} = RI$.
Перепишем чуть иначе:
$-L \Delta J = RI \Delta t = R \Delta q$,
где $\Delta q$ - "порция" заряда, протекшего через резистор за указанный малый интервал времени. Суммируя за большое время, получим слева полное изменение магнитного потока через катушку, а справа - суммарный заряд, протекший через резистор:
$q_{R} = 2LI_{0}$
(куда течет заряд через резистор - понятно, на знак полученного выражения можно внимания не обращать).
Ответ на первый вопрос чуть сложнее. Сумма токов через катушку и резистор остается постоянной и равной $3I_{0}$. Тогда запишем
$-L \frac{ \Delta J}{ \Delta t} = -L \frac{ \Delta (3I_{0} - I)}{ \Delta t} = RI$,
или
$L \Delta (2I_{0} - I ) = RI \Delta t$.
Домножим обе части уравнения на $I$, чтобы после суммирования получить справа полное количество теплоты $Q$, выделившееся за большое время в резисторе:
$-LI \Delta (3I_{0} - I) = RI^{2} \Delta t$.
Разобьем левую часть на два слагаемых и просуммируем за большое время:
$Q = - \sum LI \Delta (3I_{0}) + \sum LI \Delta (I) = 0 + \Delta \left ( \frac{LI^{2} }{2} \right ) = \frac{L(3I_{0} )^{2} }{2} - \frac{LI_{0}^{2} }{2} = 4LI_{0}^{2}$.
