Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13278
2020-02-17 
Одна из квадратных пластин плоского конденсатора закреплена, а вторая может свободно смещаться параллельно, оставаясь на расстоянии $d$ от первой. Масса подвижной пластины $M$, площадь каждой из пластин $S$. Конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$. Сдвинем теперь подвижную пластину относительно положения равновесия. Найдите период малых колебаний этой пластины. Зависит ли он от того, как мы сдвинули пластину? Сила тяжести отсутствует.
Решение:
Для определенности сдвинем пластину на малое расстояние $x$ параллельно одному из ребер так, чтобы пластины остались параллельными друг другу и расстояние между их плоскостями было, как и раньше, равно $d$ (сделаем направляющие, позволяющие пластине двигаться именно так и без трения). Тогда емкость конденсатора уменьшится - она определяется только частями пластин, расположенных одна против другой:
$C_{0} = \frac{ \epsilon_{0}S}{d}$ и $C_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S^{*} }{d} = \frac{ \epsilon_{0} ( \sqrt{S} - 2x) \sqrt{S}}{d}$.
Ясно, что если мы оставим источник подключенным к пластинам, то возвращающей силы не будет, а значит, никаких колебаний просто не возникнет.
Будем считать, что источник отключают, тогда заряд конденсатора $Q = C_{0}U_{0}$ можно считать неизменным. Найдем изменение энергии заряженного конденсатора при сдвиге пластины на малое расстояние $x$ в указанном направлении:
$W_{1} - W_{0} = \frac{Q^{2} }{2C_{1} } - \frac{Q^{2} }{2C_{0} } = \frac{Q^{2} }{C_{0} } \frac{x}{ \sqrt{S} }$.
Считая силу, необходимую для такого смещения, неизменной на малом отрезке $x$, для "возвращающей" силы получим
$F = \frac{Q^{2}}{C_{0} \sqrt{S} } = \frac{C_{0}U_{0}^{2}}{ \sqrt{S} }$.
Сила получилась постоянной - колебания не будут гармоническими. При равноускоренном движении четверть периода колебаний $\tau$ определится из уравнения $\frac{F}{M} \frac{ \tau^{2} }{2} = x$, или $\tau = \sqrt{ \frac{2xM}{F}}$. Видно, что этот период $T = 4 \tau$ зависит от величины начального смещения пластины. Ясно, что если пластину смещать на ту же величину $x$, но в другом направлении (например, параллельно диагонали пластины), изменение емкости при том же смещении будет другим, другой будет и возвращающая сила, а значит - и период колебаний изменится.
Одна из квадратных пластин плоского конденсатора закреплена, а вторая может свободно смещаться параллельно, оставаясь на расстоянии $d$ от первой. Масса подвижной пластины $M$, площадь каждой из пластин $S$. Конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$. Сдвинем теперь подвижную пластину относительно положения равновесия. Найдите период малых колебаний этой пластины. Зависит ли он от того, как мы сдвинули пластину? Сила тяжести отсутствует.
Решение:
Для определенности сдвинем пластину на малое расстояние $x$ параллельно одному из ребер так, чтобы пластины остались параллельными друг другу и расстояние между их плоскостями было, как и раньше, равно $d$ (сделаем направляющие, позволяющие пластине двигаться именно так и без трения). Тогда емкость конденсатора уменьшится - она определяется только частями пластин, расположенных одна против другой:
$C_{0} = \frac{ \epsilon_{0}S}{d}$ и $C_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S^{*} }{d} = \frac{ \epsilon_{0} ( \sqrt{S} - 2x) \sqrt{S}}{d}$.
Ясно, что если мы оставим источник подключенным к пластинам, то возвращающей силы не будет, а значит, никаких колебаний просто не возникнет.
Будем считать, что источник отключают, тогда заряд конденсатора $Q = C_{0}U_{0}$ можно считать неизменным. Найдем изменение энергии заряженного конденсатора при сдвиге пластины на малое расстояние $x$ в указанном направлении:
$W_{1} - W_{0} = \frac{Q^{2} }{2C_{1} } - \frac{Q^{2} }{2C_{0} } = \frac{Q^{2} }{C_{0} } \frac{x}{ \sqrt{S} }$.
Считая силу, необходимую для такого смещения, неизменной на малом отрезке $x$, для "возвращающей" силы получим
$F = \frac{Q^{2}}{C_{0} \sqrt{S} } = \frac{C_{0}U_{0}^{2}}{ \sqrt{S} }$.
Сила получилась постоянной - колебания не будут гармоническими. При равноускоренном движении четверть периода колебаний $\tau$ определится из уравнения $\frac{F}{M} \frac{ \tau^{2} }{2} = x$, или $\tau = \sqrt{ \frac{2xM}{F}}$. Видно, что этот период $T = 4 \tau$ зависит от величины начального смещения пластины. Ясно, что если пластину смещать на ту же величину $x$, но в другом направлении (например, параллельно диагонали пластины), изменение емкости при том же смещении будет другим, другой будет и возвращающая сила, а значит - и период колебаний изменится.
