Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1327
2016-10-21 
В веществе, показатель преломления которого монотонно зависит от одной из декартовых координат, луч света может распространяться по дуге окружности. Найдите вид зависимости показателя преломления от этой координаты.
Решение:
Выберем начало координат в центре окружности радиуса $R$, по дуге которой распространяется луч света. Пусть показатель преломления монотонно изменяется вдоль оси $Z$.
Разобьём среду на множество тонких слоёв, перпендикулярных оси $Z$, как показано горизонтальными пунктирными линиями на рисунке. В пределах каждого из слоёв показатель преломления можно считать неизменным. Пусть $\phi$ — угол между осью $Z$ и касательной к лучу в некоторой точке. Тогда, как следует из построения на рисунке, $\phi$ является также углом падения луча на слой с координатой $z$. В соответствии с законом преломления $n(z) \sin \phi = const$. Так как $\sin \phi = z/R$,
то
$n(z) = \frac{const}{ \sin \phi} = \frac{R \cdot const}{z} = \frac{ \alpha}{z}$,
где $\alpha$ — постоянный коэффициент. Таким образом, для того, чтобы луч света мог распространяться в среде по дуге окружности, показатель преломления должен убывать обратно пропорционально координате отсчитываемой от центра этой окружности.
В веществе, показатель преломления которого монотонно зависит от одной из декартовых координат, луч света может распространяться по дуге окружности. Найдите вид зависимости показателя преломления от этой координаты.
Решение:
Выберем начало координат в центре окружности радиуса $R$, по дуге которой распространяется луч света. Пусть показатель преломления монотонно изменяется вдоль оси $Z$.
Разобьём среду на множество тонких слоёв, перпендикулярных оси $Z$, как показано горизонтальными пунктирными линиями на рисунке. В пределах каждого из слоёв показатель преломления можно считать неизменным. Пусть $\phi$ — угол между осью $Z$ и касательной к лучу в некоторой точке. Тогда, как следует из построения на рисунке, $\phi$ является также углом падения луча на слой с координатой $z$. В соответствии с законом преломления $n(z) \sin \phi = const$. Так как $\sin \phi = z/R$,
то
$n(z) = \frac{const}{ \sin \phi} = \frac{R \cdot const}{z} = \frac{ \alpha}{z}$,
где $\alpha$ — постоянный коэффициент. Таким образом, для того, чтобы луч света мог распространяться в среде по дуге окружности, показатель преломления должен убывать обратно пропорционально координате отсчитываемой от центра этой окружности.
