Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13266
2020-02-17 
На двух одинаковых легких пружинах жёсткостью $k$, прикрепленных к потолку, висят одинаковые грузы массой $M$. На один из грузов аккуратно ставят грузик массой $m$, а после того, как колебания прекратятся, быстро переносят грузик на другой груз. Через какое время грузы поравняются? А через какое время скорости грузов впервые будут направлены в одну сторону?
Решение:
Каждый из маятников после переноса грузика будет совершать гармонические колебания. Частоты колебаний разные:
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{M}}$ и $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{k}{M + m} }$,
амплитуды - одинаковые и равные $x_{0} = \frac{mg}{k}$. Отсчитывая координаты от положения равновесия ненагруженного маятника, получим графики изменения координат со временем (см. рисунок). Поравняются грузы в момент $t_{1}$, для которого $- x_{0} \cos \omega_{1} t_{1} = - x_{0} \sin \omega_{2}t_{1}$. При этом
$\cos \omega_{1}t_{1} = \sin \omega_{2}t_{1}$,
или
$\omega_{1}t_{1} = \omega_{2}t_{2} = \frac{ \pi}{2}, t_{1} = \frac{ \pi}{2( \omega_{1} + \omega_{2} )} = \frac{ \pi }{ 2 \left ( \sqrt{ \frac{k}{M} } + \sqrt{ \frac{k}{M + m} } \right ) }$.
Скорости грузов впервые будут направлены в одну сторону, как только один из них изменит направление движения. Так как $\omega_{1} > \omega_{2}$, первым это сделает груз, с которого сняли грузик массой $m$, через половину периода своих колебаний. Итак,
$t_{2} = \frac{T_{1} }{2} = \frac{ \pi}{ \omega_{1} } = \frac{ \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{M} } } = \pi \sqrt{ \frac{M}{k} }$.
На двух одинаковых легких пружинах жёсткостью $k$, прикрепленных к потолку, висят одинаковые грузы массой $M$. На один из грузов аккуратно ставят грузик массой $m$, а после того, как колебания прекратятся, быстро переносят грузик на другой груз. Через какое время грузы поравняются? А через какое время скорости грузов впервые будут направлены в одну сторону?
Решение:
Каждый из маятников после переноса грузика будет совершать гармонические колебания. Частоты колебаний разные:
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{M}}$ и $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{k}{M + m} }$,
амплитуды - одинаковые и равные $x_{0} = \frac{mg}{k}$. Отсчитывая координаты от положения равновесия ненагруженного маятника, получим графики изменения координат со временем (см. рисунок). Поравняются грузы в момент $t_{1}$, для которого $- x_{0} \cos \omega_{1} t_{1} = - x_{0} \sin \omega_{2}t_{1}$. При этом
$\cos \omega_{1}t_{1} = \sin \omega_{2}t_{1}$,
или
$\omega_{1}t_{1} = \omega_{2}t_{2} = \frac{ \pi}{2}, t_{1} = \frac{ \pi}{2( \omega_{1} + \omega_{2} )} = \frac{ \pi }{ 2 \left ( \sqrt{ \frac{k}{M} } + \sqrt{ \frac{k}{M + m} } \right ) }$.
Скорости грузов впервые будут направлены в одну сторону, как только один из них изменит направление движения. Так как $\omega_{1} > \omega_{2}$, первым это сделает груз, с которого сняли грузик массой $m$, через половину периода своих колебаний. Итак,
$t_{2} = \frac{T_{1} }{2} = \frac{ \pi}{ \omega_{1} } = \frac{ \pi}{ \sqrt{ \frac{k}{M} } } = \pi \sqrt{ \frac{M}{k} }$.
