Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13265
2020-02-17 
На одинаковые тороидальные сердечники, сделанные из материала с большой магнитной проницаемостью, намотаны тонким проводом катушки, одна из них содержит вдвое больше витков, чем другая. Катушка с меньшим числом витков имеет индуктивность 0,5 Гн. Катушки соединены параллельно, к выводам катушек присоединены конденсатор емкостью 10 мкФ и батарейка напряжением 6 В с внутренним сопротивлением 10 Ом (см. рисунок). Когда токи в цепи практически перестали изменяться, батарейку отключают. Найдите максимальное значение заряда конденсатора. Какое количество теплоты выделится в каждой катушке после отключения батарейки? Провод, которым намотаны катушки, имеет очень маленькое сопротивление.
Решение:
Вначале о катушках. Пусть индуктивность катушки с меньшим числом витков равна $L$, тогда индуктивность "двойной" катушки в 4 раза больше и составляет $4L$. Обозначим малое сопротивление куска провода, которым намотана меньшая катушка, через $r$, сопротивление "двойной" катушки вдвое больше и равно $2r$. После того как токи в цепи практически перестают изменяться, ЭДС самоиндукции катушек становятся нулевыми и полный ток в цепи батарейки равен $I_{общ} = \frac{6 B}{10 Ом} = 0,6 A$. Между катушками этот ток распределяется в отношении, определяемом сопротивлениями обмоток, т.е. через малую катушку течет вдвое больший ток, чем через "двойную". Таким образом, ток первой катушки равен $2I = 0,4 А$, а ток "двойной" катушки равен $I = 0,2 А$. Конденсатор при этом не заряжен (его напряжение было бы нулевым при идеальных катушках, а в нашем случае оно равно падению напряжения на сопротивлениях проводов, которыми намотаны катушки). Максимальный заряд конденсатора получится в тот момент, когда заряжающий его ток первый раз станет нулевым (для идеальных катушек такие моменты наступали бы дважды в течение каждого периода колебаний - в нашем случае колебания медленно затухают и самый большой заряд получается именно в первый такой момент). Пренебрежем затуханием за время одного периода колебаний (сопротивление проводов по условию мало), ЭДС индукции катушек все время одинаковы, изменения токов обратно пропорциональны индуктивностям катушек - ток через катушку индуктивностью $L$ меняется в 4 раза быстрее, он сменит знак до того, как второй ток упадет до нуля. Суммарный ток станет нулевым при значении тока каждой катушки $J$, определяемом уравнением $4 (0,2 - J) = 0,4 + J$, откуда $J = 0,08 А$. Максимальный заряд конденсатора определим из закона сохранения энергии (выделением тепла за небольшой интервал времени пренебрегаем):
$\frac{L(2I)^{2} }{2} + \frac{4LI^{2} }{2} = \frac{LJ^{2} }{2} + \frac{4LJ^{2} }{2} + \frac{Q_{m}^{2} }{2C}$,
откуда
$Q_{m} = I \sqrt{7,2LC} = 1,2 \cdot 10^{-3} Кл$.
Общее количество теплоты, выделившееся в системе после отключения батарейки, найти совсем просто -это суммарная энергия катушек сразу после отключения: $W_{общ} = \frac{L (2I)^{2}}{2} + \frac{4LI^{2}}{2} = 0,08 Дж$. Намного сложнее посчитать, как это тепло распределится между катушками. В схеме одновременно происходят два разных процесса - понемногу затухает "кольцевой" ток в контуре, образованном двумя катушками, и медленно затухают колебания в контуре из конденсатора и двух катушек, включенных параллельно. В "кольцевом" процессе расходуется энергия $W_{1} = \frac{5LI^{2}}{2} = 0,008 Дж$, в "колебательном" - остальные $W_{2} = 0,072 Дж$. В первом из процессов токи катушек одинаковы, отношение количеств теплоты определяется отношением сопротивлений катушек. Тогда в одинарной катушке выделяется $\frac{W_{1}}{3} \approx 3 \cdot 10^{-3} Дж$, в "двойной" - примерно $6 \cdot 10^{-3} Дж$. В колебательном процессе токи катушек определяются отношением индуктивностей, т.е. через одинарную катушку течет в каждый момент вчетверо больший ток. С учетом отношения сопротивлений проводов получится отношение 8:1 в пользу одинарной катушки, в ней выделится $\frac{8W_{2}}{9} = 0,064 Дж$, в "двойной" катушке выделится $\frac{W_{2}}{9} = 0,008 Дж$. Будем считать, что в одинарной катушке всего выделилось чуть меньше 0,07 Дж, а в "двойной" в сумме выделилось примерно 0,015 Дж. Конечно, это довольно грубая оценка, нельзя просто суммировать количества теплоты, выделяющиеся в каждом из процессов, но это все же лучше, чем ничего...
На одинаковые тороидальные сердечники, сделанные из материала с большой магнитной проницаемостью, намотаны тонким проводом катушки, одна из них содержит вдвое больше витков, чем другая. Катушка с меньшим числом витков имеет индуктивность 0,5 Гн. Катушки соединены параллельно, к выводам катушек присоединены конденсатор емкостью 10 мкФ и батарейка напряжением 6 В с внутренним сопротивлением 10 Ом (см. рисунок). Когда токи в цепи практически перестали изменяться, батарейку отключают. Найдите максимальное значение заряда конденсатора. Какое количество теплоты выделится в каждой катушке после отключения батарейки? Провод, которым намотаны катушки, имеет очень маленькое сопротивление.
Решение:
Вначале о катушках. Пусть индуктивность катушки с меньшим числом витков равна $L$, тогда индуктивность "двойной" катушки в 4 раза больше и составляет $4L$. Обозначим малое сопротивление куска провода, которым намотана меньшая катушка, через $r$, сопротивление "двойной" катушки вдвое больше и равно $2r$. После того как токи в цепи практически перестают изменяться, ЭДС самоиндукции катушек становятся нулевыми и полный ток в цепи батарейки равен $I_{общ} = \frac{6 B}{10 Ом} = 0,6 A$. Между катушками этот ток распределяется в отношении, определяемом сопротивлениями обмоток, т.е. через малую катушку течет вдвое больший ток, чем через "двойную". Таким образом, ток первой катушки равен $2I = 0,4 А$, а ток "двойной" катушки равен $I = 0,2 А$. Конденсатор при этом не заряжен (его напряжение было бы нулевым при идеальных катушках, а в нашем случае оно равно падению напряжения на сопротивлениях проводов, которыми намотаны катушки). Максимальный заряд конденсатора получится в тот момент, когда заряжающий его ток первый раз станет нулевым (для идеальных катушек такие моменты наступали бы дважды в течение каждого периода колебаний - в нашем случае колебания медленно затухают и самый большой заряд получается именно в первый такой момент). Пренебрежем затуханием за время одного периода колебаний (сопротивление проводов по условию мало), ЭДС индукции катушек все время одинаковы, изменения токов обратно пропорциональны индуктивностям катушек - ток через катушку индуктивностью $L$ меняется в 4 раза быстрее, он сменит знак до того, как второй ток упадет до нуля. Суммарный ток станет нулевым при значении тока каждой катушки $J$, определяемом уравнением $4 (0,2 - J) = 0,4 + J$, откуда $J = 0,08 А$. Максимальный заряд конденсатора определим из закона сохранения энергии (выделением тепла за небольшой интервал времени пренебрегаем):
$\frac{L(2I)^{2} }{2} + \frac{4LI^{2} }{2} = \frac{LJ^{2} }{2} + \frac{4LJ^{2} }{2} + \frac{Q_{m}^{2} }{2C}$,
откуда
$Q_{m} = I \sqrt{7,2LC} = 1,2 \cdot 10^{-3} Кл$.
Общее количество теплоты, выделившееся в системе после отключения батарейки, найти совсем просто -это суммарная энергия катушек сразу после отключения: $W_{общ} = \frac{L (2I)^{2}}{2} + \frac{4LI^{2}}{2} = 0,08 Дж$. Намного сложнее посчитать, как это тепло распределится между катушками. В схеме одновременно происходят два разных процесса - понемногу затухает "кольцевой" ток в контуре, образованном двумя катушками, и медленно затухают колебания в контуре из конденсатора и двух катушек, включенных параллельно. В "кольцевом" процессе расходуется энергия $W_{1} = \frac{5LI^{2}}{2} = 0,008 Дж$, в "колебательном" - остальные $W_{2} = 0,072 Дж$. В первом из процессов токи катушек одинаковы, отношение количеств теплоты определяется отношением сопротивлений катушек. Тогда в одинарной катушке выделяется $\frac{W_{1}}{3} \approx 3 \cdot 10^{-3} Дж$, в "двойной" - примерно $6 \cdot 10^{-3} Дж$. В колебательном процессе токи катушек определяются отношением индуктивностей, т.е. через одинарную катушку течет в каждый момент вчетверо больший ток. С учетом отношения сопротивлений проводов получится отношение 8:1 в пользу одинарной катушки, в ней выделится $\frac{8W_{2}}{9} = 0,064 Дж$, в "двойной" катушке выделится $\frac{W_{2}}{9} = 0,008 Дж$. Будем считать, что в одинарной катушке всего выделилось чуть меньше 0,07 Дж, а в "двойной" в сумме выделилось примерно 0,015 Дж. Конечно, это довольно грубая оценка, нельзя просто суммировать количества теплоты, выделяющиеся в каждом из процессов, но это все же лучше, чем ничего...
