Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13264
2020-02-17 
В схеме на рисунке "горизонтальная" батарейка имеет напряжение 1 В, три из четырех конденсаторов имеют одинаковые емкости, а последний - вдвое большую. Каким может быть напряжение второй, "вертикальной" батарейки, чтобы хотя бы один конденсатор в этой схеме остался незаряженным? До подключения батареек все конденсаторы заряжены не были.
Решение:
Задача несложная, важно только не упустить каких-либо возможных вариантов. Можно рассматривать единственную схему (рис.), но придется учитывать два возможных значения известного напряжения: $U_{0} = 1 B$ и $U_{0} = - 1 B$. При этом мы учтем "перестановку" конденсаторов 3 и 4; то же для 1 и 4 и 2 и 4 получится автоматически, с учетом полярности батарейки напряжением $U_{1}$. Итак, при незаряженном конденсаторе емкостью $2C$ потенциал точки Б равен нулю (примем далее за ноль потенциал "нижней" точки), $\phi_{А} = - U_{0}$, суммарный заряд "нижних" обкладок конденсаторов 3 и 4, а также "верхних" обкладок конденсаторов 1 и 2 равен нулю:
$CU_{1} - (- U_{0} ) + CU_{1} + C (+ U_{0} ) + 0 = 0$.
Отсюда находим $U_{1} = U_{0} = 1 B$. При $U_{0} = -1 B$ получим $U_{1} = -1 B$ (полярность обратная).
Запишем условие нулевого заряда конденсатора 3:
$\phi_{А} = 0, \phi_{Б} = U_{0}, CU_{1} + C(U_{1} -U_{0}) + 2C(-U_{0}) = 0$,
$U_{1} = \frac{3}{2} U_{0}, U_{1} = \pm 1,5 B$.
Теперь запишем условие нулевого заряда конденсатора 1 :
$\phi_{А} = U_{1}, \phi_{Б} = U_{1} + U_{0}$,
$CU_{1} - (U_{1} + U_{0}) + C(-U_{1}) + 2C(-U_{1} - U_{0}) = 0$,
$-U_{0} - U_{1} - 2U_{1} - 2U_{0} = 0$,
$U_{1} = - U_{0} = -1 B$ (полярность обратная).
И, наконец, запишем условие нулевого заряда конденсатора 2:
$\phi_{Б} = U_{1}, \phi_{А} = U_{1} - U_{0}$,
$C(U_{1} - U_{1} + U_{0}) + C(-U_{1} + U_{0}) + 2C(- U_{1}) = 0$,
$U_{0} - U_{1} + U_{0} - 2U_{1} = 0, 2U_{0} = 3U_{1}, U_{1} = \frac{2}{3}U_{0} = \frac{2}{3} B$.
Итак, вот возможные напряжения "вертикальной" батарейки: $\frac{2}{3}$ B ; 1 B; 1,5 B.
В схеме на рисунке "горизонтальная" батарейка имеет напряжение 1 В, три из четырех конденсаторов имеют одинаковые емкости, а последний - вдвое большую. Каким может быть напряжение второй, "вертикальной" батарейки, чтобы хотя бы один конденсатор в этой схеме остался незаряженным? До подключения батареек все конденсаторы заряжены не были.
Решение:
Задача несложная, важно только не упустить каких-либо возможных вариантов. Можно рассматривать единственную схему (рис.), но придется учитывать два возможных значения известного напряжения: $U_{0} = 1 B$ и $U_{0} = - 1 B$. При этом мы учтем "перестановку" конденсаторов 3 и 4; то же для 1 и 4 и 2 и 4 получится автоматически, с учетом полярности батарейки напряжением $U_{1}$. Итак, при незаряженном конденсаторе емкостью $2C$ потенциал точки Б равен нулю (примем далее за ноль потенциал "нижней" точки), $\phi_{А} = - U_{0}$, суммарный заряд "нижних" обкладок конденсаторов 3 и 4, а также "верхних" обкладок конденсаторов 1 и 2 равен нулю:
$CU_{1} - (- U_{0} ) + CU_{1} + C (+ U_{0} ) + 0 = 0$.
Отсюда находим $U_{1} = U_{0} = 1 B$. При $U_{0} = -1 B$ получим $U_{1} = -1 B$ (полярность обратная).
Запишем условие нулевого заряда конденсатора 3:
$\phi_{А} = 0, \phi_{Б} = U_{0}, CU_{1} + C(U_{1} -U_{0}) + 2C(-U_{0}) = 0$,
$U_{1} = \frac{3}{2} U_{0}, U_{1} = \pm 1,5 B$.
Теперь запишем условие нулевого заряда конденсатора 1 :
$\phi_{А} = U_{1}, \phi_{Б} = U_{1} + U_{0}$,
$CU_{1} - (U_{1} + U_{0}) + C(-U_{1}) + 2C(-U_{1} - U_{0}) = 0$,
$-U_{0} - U_{1} - 2U_{1} - 2U_{0} = 0$,
$U_{1} = - U_{0} = -1 B$ (полярность обратная).
И, наконец, запишем условие нулевого заряда конденсатора 2:
$\phi_{Б} = U_{1}, \phi_{А} = U_{1} - U_{0}$,
$C(U_{1} - U_{1} + U_{0}) + C(-U_{1} + U_{0}) + 2C(- U_{1}) = 0$,
$U_{0} - U_{1} + U_{0} - 2U_{1} = 0, 2U_{0} = 3U_{1}, U_{1} = \frac{2}{3}U_{0} = \frac{2}{3} B$.
Итак, вот возможные напряжения "вертикальной" батарейки: $\frac{2}{3}$ B ; 1 B; 1,5 B.
