2016-10-21
Ацетон и бензол смешиваются друг с другом в любых пропорциях, образуя прозрачный раствор. Объём смеси равен суммарному объёму компонентов до смешивания. Показатель преломления света п смеси зависит от концентраций молекул ацетона $N_{А}$ и бензола $N_{Б}$ следующим образом: $n^{2} = 1 + K_{А}N_{А} + K_{Б}N_{Б}$, где $K_{А}$ и $K_{Б}$ — некоторые константы (поляризуемости молекул ацетона и бензола). В колбе находится $V = 200 мл$ смеси ацетона и бензола при температуре $T_{1} = 50^{ \circ} C$. Палочка из стекла, опущенная в колбу, освещается светом с длиной волны $\lambda = 546 нм$ и не видна в этом растворе при данной температуре. Какое количество и какой жидкости — ацетона или бензола — нужно долить в колбу после её охлаждения до температуры $T_{2} = 20^{ \circ} C$, чтобы после размешивания раствора стеклянная палочка не была видна при том же освещении? Показатели преломления света с данной длиной волны у этих жидкостей при температуре $T_{2}$ равны $n_{А} = 1,36$ и $n_{Б} = 1,50$ соответственно, а у стекла $n_{С} = 1,47$. Коэффициенты объёмного расширения обеих жидкостей в диапазоне температур от $T_{2}$ до $T_{1}$ одинаковы и равны $\mu = 0,00124 К^{-1}$. Тепловым расширением стекла и испарением жидкостей пренебречь.
Решение:
Палочка не видна в растворе, если показатели преломления стекла (из которого изготовлена палочка) и раствора совпадают при данных условиях (в этом случае свет никак не преломляется на границе стекла и раствора).
Обозначим через ат объёмную долю ацетона в растворе, в котором палочка незаметна при температуре этого раствора $T$. Тогда объёмная доля бензола в таком растворе равна $(1 — \alpha_{T})$. Для чистых жидкостей при температуре $T_{2} = 20^{ \circ} C$ справедливы соотношения:
$n_{А}^{2} = 1 + K_{A}N_{A}; n_{Б}^{2} = 1 + K_{Б}N_{Б}$.
Для того, чтобы в растворе ацетона и бензола палочка не была видна при температуре $20^{ \circ} C$, должно выполняться условие:
$n_{С}^{2} = 1 + \alpha_{20} K_{А}N_{А} + (1 - \alpha_{20})K_{А}N_{Б}$.
Отсюда найдём объёмную долю ацетона в таком растворе при температуре $20^{ \circ} C$:
$\alpha_{20} = \frac{n_{Б}^{2}-n_{С}^{}}{n_{Б}^{2} - n_{А}^{}} = \frac{1,5^{2} - 1,47^{2}}{1,5^{2} - 1,36^{2}} \approx 0,222$.
При изменении температуры раствора объёмная доля ацетона не изменяется, поскольку коэффициенты объёмного расширения обеих жидкостей по условию одинаковы. В то же время концентрации молекул ацетона и бензола меняются, поскольку изменяется объём раствора: $V = V_{20} (1 + \mu(T_{1} - T_{2}))$. Таким образом, $\alpha_{50}$ (объёмная доля ацетона в таком растворе, в котором стеклянная палочка незаметна при температуре $T_{1} = 50^{ \circ} C$) может быть найдена из условия:
$n_{С}^{2} = 1 + \frac{ \alpha_{50}K_{А}N_{А} + (1- \alpha_{50})K_{Б}N_{Б}}{1 + \mu (T_{1}-T_{2})}$.
Отсюда, с учётом записанных выше соотношений для $n_{А}$ и $n_{Б}$:
$\alpha_{50} = \frac{n_{Б}^{2} - 1 (n_{С}^{2} - 1)(1 + \mu (T_{1} - T_{2}))}{n_{Б}^{2} - n_{А}^{2}} = \frac{1,5^{2} - 1 (1,47^{2} - 1) \cdot (1 + 0,00124 \cdot 30)}{1,5^{2} - 1,36^{2}} \approx 0,115$.
Так как $\alpha_{20} > \alpha_{50}$, для получения раствора с объёмной долей ацетона $\alpha_{20}$ из раствора с объёмной долей ацетона $\alpha_{50}$ в исходный раствор нужно добавлять ацетон. Объём исходного раствора после охлаждения до $20^{ \circ} C$ равен
$V_{20} = \frac{V}{(1 + \mu (T_{1} - T_{2}))} \approx 192,8 мл$.
В нём на долю бензола приходится объём $V_{Б} = (1 — \alpha_{50})V_{20} \approx 170,7 мл$, который после добавления ацетона должен составлять долю $(1 — \alpha_{20})$ от нового объёма раствора $V_{н}$. Отсюда
$V_{н} = \frac{V_{Б}}{1 - \alpha_{20}} \approx 219,5 мл$.
Таким образом, в раствор нужно добавить объём ацетона, равный
$\Delta V_{А} = V_{н} - V_{20} = \frac{n_{С}^{2} - 1}{ n_{С}^{2} - n_{А}^{2}} \cdot \frac{ \mu (T_{1}-T_{2})V}{1 + \mu (T_{1}-T_{2})} \approx 219,5 мл - 192,8 мл \approx 26,7 мл$
(объём рассчитан при температуре добавляемого ацетона $T_{2} = 20^{ \circ} С$).