Разделы 
Дополнительно
Задача по физике -13252
2020-02-16 
Тридцать одинаковых резисторов сопротивлением R каждым соединены между собой в пространстве так, что они являются ребрами выпуклого правильного многогранника (см. рисунок): а) двадцатигранника (икосаэдра); б) двенадцатигранника (додекаэдра). Какое сопротивление будет представлять описанная выше система а) или б), если подключиться к паре ее наиболее удаленных вершин? Сколько разных значений сопротивления можно будет получить в случае а) и в случае б), если подключаться к всевозможным парам вершин этих многогранников? Справка: грани икосаэдра - это 20 правильных треугольников, в каждой из 12 вершин сходятся по 5 треугольников; грани додекаэдра - это 12 правильных пятиугольников, в каждой из 20 вершин сходятся по 3 пятиугольника.
Решение:
Рассмотрим сначала икосаэдр. Из произвольной вершины икосаэдра выходят пять ребер, заканчивающихся в пяти вершинах, которые образуют правильный пятиугольник и соединены друг с другом пятью ребрами-перемычками. Назовем этот пятиугольник ближайшим к исходной вершине слоем. Следующими по удаленности от исходной вершины идут пять вершин с пятью перемычками, также образующие правильный пятиугольник, равный предыдущему и лежащий в следующем, втором слое, параллельном первому. Из каждой вершины первого слоя выходят и в каждую вершину второго слоя входят по два ребра, соединяющих первый слой со вторым, - всего десять ребер. И, наконец, самая дальняя вершина, равноудаленная от пяти вершин второго слоя, соединена с ними пятью ребрами. Общую систему вершин икосаэдра, таким образом, можно представить в виде двух правильных пятиугольных пирамид, высоты которых лежат на общей прямой, а основания параллельны и повернуты друг относительно друга на угол $36^{ \circ}$. Поэтому при подключения источника питания к паре наиболее удаленных вершин пять вершин первого слоя будут электрически эквивалентны, т.е. будут иметь один и тот же потенциал, и их можно накоротко соединить друг с другом. Пять вершин второго слоя также будут иметь один и тот же потенциал, отличный от потенциала вершин первого слоя, и их тоже можно закоротить. Следовательно, эквивалентная схема в этом случае состоит из пяти соединенных параллельно резисторов, к которым присоединены последовательно сначала десять параллельных резисторов (из ребер-резисторов икосаэдра, соединяющих два слоя), а потом еще пять параллельных резисторов. Поэтому искомое сопротивление будет равно
$R_{общ} = \frac{R}{5} + \frac{R}{10} + \frac{R}{5} = \frac{R}{2}$.
Теперь рассмотрим в этом же ключе додекаэдр и будем стартовать от какой-нибудь его вершины, подключив к ней один из контактов источника питания. Ближайшими соседями этой вершины окажутся три вершины первого эквипотенциального слоя, с которыми она связана напрямую тремя выходящими из нее ребрами. Из каждой вершины этого слоя выходят по два ребра (всего в каждой вершине соединяются три ребра), попадающих в шесть вершин следующего, второго эквипотенциально слоя. Из этих шести вершин выходят двенадцать ребер, при этом шесть идут к следующему, третьему слою, состоящему опять-таки из шести вершин, а другие шесть ребер замыкаются парами, образуя три перемычки между предыдущими шестью эквипотенциальными вершинами второго слоя. Из каждой вершины третьего слоя выходят по два ребра, из них одно замыкается парой с ребром от соседней вершины этого слоя, а второе идет к одной из трех вершин следующего, четвертого слоя, к каждой из которых приходят по два ребра из вершин третьего слоя. Из трех вершин четвертого слоя выходят три оставшихся ребра, которые встречаются в последней из 20 вершин - той наиболее удаленной, к которой подключается второй контакт источника. Таким образом, из условий геометрической и физической симметрии наша цепь будет эквивалентна последовательному соединению пяти пучков параллельно соединенных резисторов: сначала трех, потом шести, затем снова шести (из-за исключенных шести перемычек), потом опять шести и, наконец, трех. Отсюда получаем, что искомое сопротивление будет равно
$R_{общ} = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{6} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3} = \frac{7}{6}R$.
Для ответа на второй вопрос надо подсчитать, через какое минимальное количество ребер соединяются наиболее удаленные вершины многогранников. В случае а) таких ребер, очевидно, три, и в силу симметрии возможны лишь три разных значения сопротивления: между соседними вершинами, через одну и через две (как раз между наиболее удаленными вершинами). В случае б) таких ребер пять, и возможны лишь пять разных значений сопротивления: между соседними вершинами, через одну, через две, через три и через четыре (между наиболее удаленными вершинами).
Тридцать одинаковых резисторов сопротивлением R каждым соединены между собой в пространстве так, что они являются ребрами выпуклого правильного многогранника (см. рисунок): а) двадцатигранника (икосаэдра); б) двенадцатигранника (додекаэдра). Какое сопротивление будет представлять описанная выше система а) или б), если подключиться к паре ее наиболее удаленных вершин? Сколько разных значений сопротивления можно будет получить в случае а) и в случае б), если подключаться к всевозможным парам вершин этих многогранников? Справка: грани икосаэдра - это 20 правильных треугольников, в каждой из 12 вершин сходятся по 5 треугольников; грани додекаэдра - это 12 правильных пятиугольников, в каждой из 20 вершин сходятся по 3 пятиугольника.
Решение:
Рассмотрим сначала икосаэдр. Из произвольной вершины икосаэдра выходят пять ребер, заканчивающихся в пяти вершинах, которые образуют правильный пятиугольник и соединены друг с другом пятью ребрами-перемычками. Назовем этот пятиугольник ближайшим к исходной вершине слоем. Следующими по удаленности от исходной вершины идут пять вершин с пятью перемычками, также образующие правильный пятиугольник, равный предыдущему и лежащий в следующем, втором слое, параллельном первому. Из каждой вершины первого слоя выходят и в каждую вершину второго слоя входят по два ребра, соединяющих первый слой со вторым, - всего десять ребер. И, наконец, самая дальняя вершина, равноудаленная от пяти вершин второго слоя, соединена с ними пятью ребрами. Общую систему вершин икосаэдра, таким образом, можно представить в виде двух правильных пятиугольных пирамид, высоты которых лежат на общей прямой, а основания параллельны и повернуты друг относительно друга на угол $36^{ \circ}$. Поэтому при подключения источника питания к паре наиболее удаленных вершин пять вершин первого слоя будут электрически эквивалентны, т.е. будут иметь один и тот же потенциал, и их можно накоротко соединить друг с другом. Пять вершин второго слоя также будут иметь один и тот же потенциал, отличный от потенциала вершин первого слоя, и их тоже можно закоротить. Следовательно, эквивалентная схема в этом случае состоит из пяти соединенных параллельно резисторов, к которым присоединены последовательно сначала десять параллельных резисторов (из ребер-резисторов икосаэдра, соединяющих два слоя), а потом еще пять параллельных резисторов. Поэтому искомое сопротивление будет равно
$R_{общ} = \frac{R}{5} + \frac{R}{10} + \frac{R}{5} = \frac{R}{2}$.
Теперь рассмотрим в этом же ключе додекаэдр и будем стартовать от какой-нибудь его вершины, подключив к ней один из контактов источника питания. Ближайшими соседями этой вершины окажутся три вершины первого эквипотенциального слоя, с которыми она связана напрямую тремя выходящими из нее ребрами. Из каждой вершины этого слоя выходят по два ребра (всего в каждой вершине соединяются три ребра), попадающих в шесть вершин следующего, второго эквипотенциально слоя. Из этих шести вершин выходят двенадцать ребер, при этом шесть идут к следующему, третьему слою, состоящему опять-таки из шести вершин, а другие шесть ребер замыкаются парами, образуя три перемычки между предыдущими шестью эквипотенциальными вершинами второго слоя. Из каждой вершины третьего слоя выходят по два ребра, из них одно замыкается парой с ребром от соседней вершины этого слоя, а второе идет к одной из трех вершин следующего, четвертого слоя, к каждой из которых приходят по два ребра из вершин третьего слоя. Из трех вершин четвертого слоя выходят три оставшихся ребра, которые встречаются в последней из 20 вершин - той наиболее удаленной, к которой подключается второй контакт источника. Таким образом, из условий геометрической и физической симметрии наша цепь будет эквивалентна последовательному соединению пяти пучков параллельно соединенных резисторов: сначала трех, потом шести, затем снова шести (из-за исключенных шести перемычек), потом опять шести и, наконец, трех. Отсюда получаем, что искомое сопротивление будет равно
$R_{общ} = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{6} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3} = \frac{7}{6}R$.
Для ответа на второй вопрос надо подсчитать, через какое минимальное количество ребер соединяются наиболее удаленные вершины многогранников. В случае а) таких ребер, очевидно, три, и в силу симметрии возможны лишь три разных значения сопротивления: между соседними вершинами, через одну и через две (как раз между наиболее удаленными вершинами). В случае б) таких ребер пять, и возможны лишь пять разных значений сопротивления: между соседними вершинами, через одну, через две, через три и через четыре (между наиболее удаленными вершинами).
