Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13250
2020-02-16 
Над $\nu$ молями идеального одноатомного газа проводят циклический процесс, график которого изображен на $pV$ - диаграмме (см. рисунок). Цикл состоит из вертикального (1-2) и горизонтального (3-1) участков и "лестницы" (2-3) из $n$ ступенек, на каждой из которых давление и объем газа изменяются в одно и то же число раз. Отношение максимального давления газа к минимальному равно $k$, отношение максимального объема газа к минимальному также равно $k$. Найдите КПД тепловой машины, работающей по данному циклу.
Решение:
Поскольку тепловая машина совершает за цикл положительную работу, рассматриваемый цикл проходится по часовой стрелке, в направлении 1-2-3-1. КПД этой тепловой машины равен отношению совершенной работы $A$ к количеству теплоты $Q_{+}$, полученному от нагревателей. Обозначим через $p_{0}$ и $V_{0}$ минимальные давление и объем газа, тогда максимальные давление и объем будут равны $kp_{0}$ и $kV_{0}$ соответственно. Заметим, что на горизонтальном участке ступеньки объем возрастает в $k^{1/n}$ раз, а на вертикальном участке давление уменьшается в такое же число раз.
В данном цикле газ получает тепло на участке 1-2, а также на горизонтальных участках лестницы 2-3. Количество теплоты, полученное на участке 1-2, равно изменению внутренней энергии газа:
$Q_{12} = \frac{3}{2} kp_{0}V_{0} - \frac{3}{2} p_{0} V_{0} = \frac{3}{2} (k - 1) p_{0} V_{0}$.
Далее, на $i$-м горизонтальном участке лестницы ($i$ изменяется в пределах от 1 до $n$) газ расширяется от объема $V_{0}k^{ \frac{i -1}{n}}$ до $V_{0}k^{ \frac{i}{n}}$ при постоянном давлении $p_{0}k^{ \frac{1-(i-1)}{n}}$. При этом он совершает работу $\Delta A = kp_{0}V_{0} ( k^{1/n} - 1)$, изменяет свою внутреннюю энергию на $\Delta U = 1,5 \Delta A$ и получает количество теплоты $\Delta Q = 2,5 \Delta A$. На вертикальных участках "лестницы" газ не совершает работы и отдает тепло. На участке 3-1 газ отдает тепло и совершает отрицательную работу $A_{31} = - (k - 1) p_{0}V_{0}$. Следовательно, суммарное количество теплоты, полученное от нагревателей, равно
$Q_{+} = Q_{12} + n \Delta Q = \frac{3}{2} (k - 1) p_{0}V_{0} + \frac{5}{2} nk (k^{1/n} - 1)p_{0}V_{0}$,
а совершенная работа равна
$A = A_{31} + n \Delta A = - (k - 1) p_{0} V_{0} + nk (k^{1/n} - 1)p_{0} V_{0}$.
Тогда искомый КПД цикла равен
$\eta = \frac{A}{Q_{+} } = \frac{nk (k^{1/n} - 1) - (k - 1)}{ \frac{3}{2} (k - 1) + \frac{5}{2} nk (k^{1/n} - 1) }$.
Над $\nu$ молями идеального одноатомного газа проводят циклический процесс, график которого изображен на $pV$ - диаграмме (см. рисунок). Цикл состоит из вертикального (1-2) и горизонтального (3-1) участков и "лестницы" (2-3) из $n$ ступенек, на каждой из которых давление и объем газа изменяются в одно и то же число раз. Отношение максимального давления газа к минимальному равно $k$, отношение максимального объема газа к минимальному также равно $k$. Найдите КПД тепловой машины, работающей по данному циклу.
Решение:
Поскольку тепловая машина совершает за цикл положительную работу, рассматриваемый цикл проходится по часовой стрелке, в направлении 1-2-3-1. КПД этой тепловой машины равен отношению совершенной работы $A$ к количеству теплоты $Q_{+}$, полученному от нагревателей. Обозначим через $p_{0}$ и $V_{0}$ минимальные давление и объем газа, тогда максимальные давление и объем будут равны $kp_{0}$ и $kV_{0}$ соответственно. Заметим, что на горизонтальном участке ступеньки объем возрастает в $k^{1/n}$ раз, а на вертикальном участке давление уменьшается в такое же число раз.
В данном цикле газ получает тепло на участке 1-2, а также на горизонтальных участках лестницы 2-3. Количество теплоты, полученное на участке 1-2, равно изменению внутренней энергии газа:
$Q_{12} = \frac{3}{2} kp_{0}V_{0} - \frac{3}{2} p_{0} V_{0} = \frac{3}{2} (k - 1) p_{0} V_{0}$.
Далее, на $i$-м горизонтальном участке лестницы ($i$ изменяется в пределах от 1 до $n$) газ расширяется от объема $V_{0}k^{ \frac{i -1}{n}}$ до $V_{0}k^{ \frac{i}{n}}$ при постоянном давлении $p_{0}k^{ \frac{1-(i-1)}{n}}$. При этом он совершает работу $\Delta A = kp_{0}V_{0} ( k^{1/n} - 1)$, изменяет свою внутреннюю энергию на $\Delta U = 1,5 \Delta A$ и получает количество теплоты $\Delta Q = 2,5 \Delta A$. На вертикальных участках "лестницы" газ не совершает работы и отдает тепло. На участке 3-1 газ отдает тепло и совершает отрицательную работу $A_{31} = - (k - 1) p_{0}V_{0}$. Следовательно, суммарное количество теплоты, полученное от нагревателей, равно
$Q_{+} = Q_{12} + n \Delta Q = \frac{3}{2} (k - 1) p_{0}V_{0} + \frac{5}{2} nk (k^{1/n} - 1)p_{0}V_{0}$,
а совершенная работа равна
$A = A_{31} + n \Delta A = - (k - 1) p_{0} V_{0} + nk (k^{1/n} - 1)p_{0} V_{0}$.
Тогда искомый КПД цикла равен
$\eta = \frac{A}{Q_{+} } = \frac{nk (k^{1/n} - 1) - (k - 1)}{ \frac{3}{2} (k - 1) + \frac{5}{2} nk (k^{1/n} - 1) }$.
