2016-10-21
Стеклянная пластинка имеет в сечении форму равнобочной трапеции (см. рисунок). Основание трапеции равно $D$, высота $L$, а угол между боковыми сторонами $\phi \ll 1$. Боковые поверхности пластинки посеребрены, показатель преломления стекла равен $n$. При каких углах падения $\alpha$ луч света, падающий на основание, будет проходить через пластинку?
Решение:
Луч света, попав в пластинку, несколько раз отразится от её посеребрённых боковых поверхностей, после чего попадёт на малое основание пластинки. Луч пройдёт через него только в том случае, если угол падения света не превысит угол полного внутреннего отражения, величина которого даётся формулой $\sin \beta_{max} = 1/n$.
Для того, чтобы было проще рассматривать отражения от боковых поверхностей, воспользуемся следующим приёмом, который позволяет заменить распространение света с многократными отражениями на прямолинейное. Последовательно отразим несколько раз пластинку относительно её боковой поверхности, на которой происходит очередное отражение света и представим, что луч проходит эту боковую поверхность насквозь (см. рис.). Будем продолжать эту процедуру до тех пор, пока луч не упрётся в малое основание после очередного «отражения» пластинки. Фактически это выглядит так, как будто мы отражаем пластинку вместе с идущим в ней лучом. При этом величина угла падения света на малое основание после последнего «отражения» пластинки будет совпадать с величиной угла падения на основание реальной пластинки.
Теперь можно приступить к определению угла $\alpha$. Введём обозначения так, как это показано на рисунке, и применим к треугольнику ABO теорему синусов: $\frac{ \sin \theta}{R-L} = \frac{ \sin ( \pi - \beta)}{R}$. Отсюда, учитывая, что $R = \frac{D}{2 \sin ( \phi /2)}$, получим:
$\sin \theta_{max} = \left ( 1 - \frac{L}{R} \right ) \sin \beta_{max} = \frac{1}{n} \left ( 1 - \frac{2L}{D} \sin \frac{ \phi}{2} \right )$.
Интересующий нас угол определяется из соотношения $\sin \alpha_{max} = n \sin \theta_{max}$, откуда, с учётом малости угла $\phi$, окончательно найдём:
$\sin \alpha_{max} \approx \left ( 1 - \frac{2L}{D} \sin \frac{ \phi}{2} \right )$.
Следовательно, луч света пройдёт через пластинку при углах падения на её основание
$\alpha \leq \alpha_{max} \approx arcsin \left ( 1 - \frac{L \phi}{D} \right )$.