Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13248
2020-02-16 
Однородное плоское тело вращается относительно вертикальной оси, лежащей в плоскости тела (см. рисунок). Тело раскрутили до угловой скорости $\omega_{0}$ и отпустили. На тело действует сила сопротивления воздуха такая, что избыточное давление пропорционально скорости $v$ участка поверхности с коэффициентом $k$ (т.е. $\Delta F = k \Delta Sv$ ). Масса тела $M$, его "поперечная" площадь $S$. Сколько оборотов совершит тело до полной остановки?
Решение:
Для решения можно использовать уравнения динамики вращающегося тела (момент сил, угловое ускорение, момент инерции), но можно обойтись энергетическими соображениями: кинетическая энергия "съедается" силами сопротивления воздуха.
Рассмотрим силу сопротивления, действующую на маленький кусочек поверхности площадью $\Delta S$, находящийся на расстоянии $r$ от оси вращения при угловой скорости $\omega$:
$\Delta F = k \omega r \Delta S$.
За очень малый интервал времени $\Delta t$ эта сила совершит работу
$F \omega r \Delta t = k \omega^{2}r^{2} \Delta S \Delta t$.
Суммарная работа всех сил сопротивления при этом составит
$k \omega^{2} \Delta t \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i})$.
За это же время угловая скорость плоского тела уменьшится на некоторую малую величину $\Delta \omega$, а кинетическая энергия этого кусочка массой $m = \frac{M \Delta S}{S}$ уменьшится на
$\frac{1}{2} m \omega^{2}r^{2} - \frac{1}{2} m ( \omega - \Delta \omega )^{2} r^{2} = m \omega r^{2} \Delta \omega = \frac{M \Delta S}{S} \omega r^{2} \Delta \omega$
(мы отбросили совсем малую величину, содержащую множитель $( \Delta \omega )^{2}$). Запишем в виде суммы полное изменение кинетической энергии тела за этот интервал времени:
$\frac{M}{S} \omega \Delta \omega \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i})$.
Приравняем работу сил сопротивления изменению кинетической энергии (знак изменения мы уже учли):
$k \omega^{2} \Delta t \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i}) = \frac{M}{S} \omega \Delta \omega \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i})$.
Слева и справа написаны одинаковые суммы, считать их не нужно, мы их просто сократим. В итоге получим
$k \omega^{2} \Delta t = \frac{M}{S} \omega \Delta \omega$, или $k \Delta \phi = \frac{M}{S} \Delta \omega$.
Мы видим, что угол поворота за некоторый интервал времени совсем просто связан с уменьшением угловой скорости за то же время. Тогда полный угол поворота до остановки будет $\phi = \frac{M}{kS} \omega_{0}$, или в оборотах
$n = \frac{ \phi }{2 \pi} = \frac{M \omega_{0} }{2 \pi kS}$.
Однородное плоское тело вращается относительно вертикальной оси, лежащей в плоскости тела (см. рисунок). Тело раскрутили до угловой скорости $\omega_{0}$ и отпустили. На тело действует сила сопротивления воздуха такая, что избыточное давление пропорционально скорости $v$ участка поверхности с коэффициентом $k$ (т.е. $\Delta F = k \Delta Sv$ ). Масса тела $M$, его "поперечная" площадь $S$. Сколько оборотов совершит тело до полной остановки?
Решение:
Для решения можно использовать уравнения динамики вращающегося тела (момент сил, угловое ускорение, момент инерции), но можно обойтись энергетическими соображениями: кинетическая энергия "съедается" силами сопротивления воздуха.
Рассмотрим силу сопротивления, действующую на маленький кусочек поверхности площадью $\Delta S$, находящийся на расстоянии $r$ от оси вращения при угловой скорости $\omega$:
$\Delta F = k \omega r \Delta S$.
За очень малый интервал времени $\Delta t$ эта сила совершит работу
$F \omega r \Delta t = k \omega^{2}r^{2} \Delta S \Delta t$.
Суммарная работа всех сил сопротивления при этом составит
$k \omega^{2} \Delta t \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i})$.
За это же время угловая скорость плоского тела уменьшится на некоторую малую величину $\Delta \omega$, а кинетическая энергия этого кусочка массой $m = \frac{M \Delta S}{S}$ уменьшится на
$\frac{1}{2} m \omega^{2}r^{2} - \frac{1}{2} m ( \omega - \Delta \omega )^{2} r^{2} = m \omega r^{2} \Delta \omega = \frac{M \Delta S}{S} \omega r^{2} \Delta \omega$
(мы отбросили совсем малую величину, содержащую множитель $( \Delta \omega )^{2}$). Запишем в виде суммы полное изменение кинетической энергии тела за этот интервал времени:
$\frac{M}{S} \omega \Delta \omega \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i})$.
Приравняем работу сил сопротивления изменению кинетической энергии (знак изменения мы уже учли):
$k \omega^{2} \Delta t \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i}) = \frac{M}{S} \omega \Delta \omega \sum ( r_{i}^{2} \Delta S_{i})$.
Слева и справа написаны одинаковые суммы, считать их не нужно, мы их просто сократим. В итоге получим
$k \omega^{2} \Delta t = \frac{M}{S} \omega \Delta \omega$, или $k \Delta \phi = \frac{M}{S} \Delta \omega$.
Мы видим, что угол поворота за некоторый интервал времени совсем просто связан с уменьшением угловой скорости за то же время. Тогда полный угол поворота до остановки будет $\phi = \frac{M}{kS} \omega_{0}$, или в оборотах
$n = \frac{ \phi }{2 \pi} = \frac{M \omega_{0} }{2 \pi kS}$.
