Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13246
2020-02-16 
Снаряд, летевший вертикально, взорвался в верхней точке своей траектории, распавшись на три осколка с массами $m_{1} = 2m, m_{2} = 3m$ и $m_{3} = 4m$, которые полетели в разные стороны с одинаковыми начальными скоростями. Через некоторое время после взрыта расстояние между осколками с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ оказалось равным $L$. Чему было равно в этот момент расстояние между осколками с массами $m_{1}$ и $m_{3}$, если ни один из осколков еще не достиг земли? Влиянием воздуха и массой взрывчатого вещества снаряда пренебречь.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, падающую на землю с ускорением свободного падения $g$. В этой системе отсчета осколки после взрыва движутся в разные стороны равномерно и прямолинейно с одинаковыми скоростями, равными начальной скорости $v$, приобретенной в результате взрыва. Из закона сохранения импульса следует, что начальные скорости осколков лежат в одной плоскости. Следовательно, в рассматриваемой системе отсчета все осколки после взрыва снаряда в любой момент времени располагаются на окружности с центром в точке взрыва.
Изобразим эту окружность на рисунке, обозначив угол между направлениями разлета осколков с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ через $\alpha$, а осколков с массами $m_{1}$ и $m_{3}$ - через $\pi - \beta$. Рассмотрим положения осколков в момент времени, когда расстояние между первым и вторым осколками оказалось равным $L$. Тогда из рисунка следует, что
$L = 2R \sin \frac{ \alpha}{2}, L_{1} = 2R \sin \frac{ \pi - \beta }{2} = 2R \cos \frac{ \beta }{2}$,
где $R$ - радиус изображенной окружности, $L_{1}$ -искомое расстояние между первым и третьим осколками.
Поскольку импульс рассматриваемой системы осколков сохраняется, из теоремы косинусов, примененной к треугольнику из векторов импульсов осколков, следует
$(m_{3}v)^{2} = (m_{1}v)^{2} + (m_{2}v)^{2} - 2m_{1}m_{2}v^{2} \cos ( \pi - \alpha )$.
Отсюда, с учетом заданных соотношений между $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$, находим
$\cos \alpha = \frac{m_{3}^{2} - m_{1}^{2} - m_{2}^{2}}{2m_{1}m_{2} } = \frac{1}{4}$,
т.е. угол разлета первых двух осколков составляет $\alpha \approx 75,5^{ \circ}$. Из теоремы синусов, примененной к тому же треугольнику, получаем
$\frac{m_{2}v}{ \sin \beta } = \frac{m_{3}v}{ \sin ( \pi - \alpha ) }$,
откуда
$\sin \beta = \frac{m_{2} }{m_{3} } \sin \alpha = \frac{m_{2} }{m_{3} } \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha} = \frac{3 \sqrt{15} }{16}$, и $\cos \beta = \frac{11}{16}$.
Используя тригонометрические формулы для половинного угла, найдем
$\cos \frac{ \beta }{2} = \sqrt{ \frac{1}{2} (1 + \cos \beta )} = \frac{3}{4} \sqrt{ \frac{3}{2}}$ и $\cos \alpha = 1 -2 \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} = 1 - \frac{L^{2}} {2R^{2} } = \frac{1}{4}$, откуда $R = \sqrt{ \frac{2}{3} } L$.
Подставляя эти выражения в формулу для $L_{1}$, получим ответ:
$L_{1} = \frac{3}{2} L$
Снаряд, летевший вертикально, взорвался в верхней точке своей траектории, распавшись на три осколка с массами $m_{1} = 2m, m_{2} = 3m$ и $m_{3} = 4m$, которые полетели в разные стороны с одинаковыми начальными скоростями. Через некоторое время после взрыта расстояние между осколками с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ оказалось равным $L$. Чему было равно в этот момент расстояние между осколками с массами $m_{1}$ и $m_{3}$, если ни один из осколков еще не достиг земли? Влиянием воздуха и массой взрывчатого вещества снаряда пренебречь.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, падающую на землю с ускорением свободного падения $g$. В этой системе отсчета осколки после взрыва движутся в разные стороны равномерно и прямолинейно с одинаковыми скоростями, равными начальной скорости $v$, приобретенной в результате взрыва. Из закона сохранения импульса следует, что начальные скорости осколков лежат в одной плоскости. Следовательно, в рассматриваемой системе отсчета все осколки после взрыва снаряда в любой момент времени располагаются на окружности с центром в точке взрыва.
Изобразим эту окружность на рисунке, обозначив угол между направлениями разлета осколков с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ через $\alpha$, а осколков с массами $m_{1}$ и $m_{3}$ - через $\pi - \beta$. Рассмотрим положения осколков в момент времени, когда расстояние между первым и вторым осколками оказалось равным $L$. Тогда из рисунка следует, что
$L = 2R \sin \frac{ \alpha}{2}, L_{1} = 2R \sin \frac{ \pi - \beta }{2} = 2R \cos \frac{ \beta }{2}$,
где $R$ - радиус изображенной окружности, $L_{1}$ -искомое расстояние между первым и третьим осколками.
Поскольку импульс рассматриваемой системы осколков сохраняется, из теоремы косинусов, примененной к треугольнику из векторов импульсов осколков, следует
$(m_{3}v)^{2} = (m_{1}v)^{2} + (m_{2}v)^{2} - 2m_{1}m_{2}v^{2} \cos ( \pi - \alpha )$.
Отсюда, с учетом заданных соотношений между $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$, находим
$\cos \alpha = \frac{m_{3}^{2} - m_{1}^{2} - m_{2}^{2}}{2m_{1}m_{2} } = \frac{1}{4}$,
т.е. угол разлета первых двух осколков составляет $\alpha \approx 75,5^{ \circ}$. Из теоремы синусов, примененной к тому же треугольнику, получаем
$\frac{m_{2}v}{ \sin \beta } = \frac{m_{3}v}{ \sin ( \pi - \alpha ) }$,
откуда
$\sin \beta = \frac{m_{2} }{m_{3} } \sin \alpha = \frac{m_{2} }{m_{3} } \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha} = \frac{3 \sqrt{15} }{16}$, и $\cos \beta = \frac{11}{16}$.
Используя тригонометрические формулы для половинного угла, найдем
$\cos \frac{ \beta }{2} = \sqrt{ \frac{1}{2} (1 + \cos \beta )} = \frac{3}{4} \sqrt{ \frac{3}{2}}$ и $\cos \alpha = 1 -2 \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} = 1 - \frac{L^{2}} {2R^{2} } = \frac{1}{4}$, откуда $R = \sqrt{ \frac{2}{3} } L$.
Подставляя эти выражения в формулу для $L_{1}$, получим ответ:
$L_{1} = \frac{3}{2} L$
